Уравнение прямой через две точки коэффициенты

Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки: примеры, решения

Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости

Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.

Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой. Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.

При необходимости решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.

Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:

Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.

При подстановке получаем, что

Такой способ решения предопределяет траты большого количества времени. Существует способ, при котором задание решается буквально в два действия.

Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве

Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве и уравнение прямой.

Источник

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки

Рассмотрим, как составить уравнение прямой, проходящей через две точки, на примерах.

Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(-3; 9) и B(2;-1).

1 способ — составим уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2 способ — составим общее уравнение прямой.

Общее уравнение прямой имеет вид ax+by+c=0. Подставив координаты точек A и B в уравнение, получаем систему:

Поскольку количество неизвестных больше количества уравнений, система не разрешима. Но можно все переменные выразить через одну. Например, через b.

получим: 5a-10b=0. Отсюда a=2b.

2bx+by-3b=0. Осталось разделить обе части на b:

Общее уравнение прямой легко приводится к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

3 способ — составим уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:

Подставим в это уравнение координаты точек A(-3; 9) и B(2;-1)

В школьном курсе чаще всего используется уравнение прямой с угловым коэффициентом. Но самый простой способ — вывести и использовать формулу уравнения прямой, проходящей через две точки.

Если при подстановке координат заданных точек один из знаменателей уравнения

окажется равным нулю, то искомое уравнение получается приравниваем к нулю соответствующего числителя.

Подставляем в уравнение прямой, проходящей через 2 точки, координаты точек C и D:

Составить уравнение прямой, проходящей через точки M (7; 3) и N (7; 11).

Источник

Уравнение прямой

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

Уравнение прямой в отрезках на осях

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁) и N( x ₂, y ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂ и y ₁ ≠ y ₂, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x ₀ y = m t + y ₀

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N( x ₀, y ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁, z ₁) и N( x ₂, y ₂, z ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂, y ₁ ≠ y ₂ и z ₁ ≠ z ₂, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

	x = l t + x 0
	y = m t + y 0
	z = n t + z 0

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M( x ₀, y ₀, z ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

Источник

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки

Суть уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Необходимо сделать вывод формулы для прямой, которая пересекает эти заданные точки.

Точка \(М (х, у)\) соответствует прямой \(M_ <0>M_<1>\) только в том случае, когда ее радиус-вектор \(\vec\) соответствует следующему условию:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Где t является некоторым действительным числом (параметром). Координатная форма уравнения имеет следующий вид:

Определив параметр t с помощью первого и второго уравнений системы, можно получить доказательство следующего соотношения:

Формула будет иметь следующий вид:

Данное равенство вытекает из канонического уравнения, если выбрать направляющим вектором:

Вектор \(\vecM_<1>>\) будет равен:

То есть, замещая следующие параметры:

Уравнение прямой в отрезках

Пусть координатные оси включают две точки: \(X_<1>\left(x_<1>,0 \right)\) и \(Y_<1>\left(0, y_ <1>\right)\)

Следует отметить следующее условие:

Необходимо записать уравнение прямой, которая проходит через заданные точки, подставив в формулу:

В результате уравнение принимает следующий вид:

Если поменять местами правую и левую части уравнения, то равенство примет такой вид:

Данную формулу называют уравнением прямой в отрезках. С помощью прямой, которая пересекает точки: \(X_<1>\left(x_<1>,0 \right)\) и \(Y_<1>\left(0, y_ <1>\right)\)

координатные оси делят на отрезки х₁ на оси абсцисс и у₁ на оси ординат. Длины отрезков будут рассчитаны следующим образом:

Как записать формулу, канонический вид

Какой-либо вектор, отличный от нуля, проходит по данной прямой или параллельно ей, называют направляющим вектором этой прямой. Для обозначения направляющего вектора произвольной прямой используют букву \(\bar\)

Координаты данного вектора обозначают с помощью букв l, m, n. Таким образом, можно прийти к следующему уравнению:

Уравнение в таком виде называют каноническим.

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки

Канонические уравнения для прямой, которая пересекает следующие точки:

будет записано в следующем виде:

Равные отношения можно обозначить буквой t в канонических уравнениях. В итоге они приобретают такой вид:

Исход из этого, получается равенство:

Данные равенства являются параметрическими уравнениями прямой, которая пересекает точку \(M_<0>\left(x_<0>;y_<0>; z \right)\) в направлении вектора \(\bar=\left\\)

В данном случае t является произвольно изменяющимся параметром, x, y, z представляют собой функции от t. Если изменяется t, то значения x, y, z также меняются. Таким образом, точка M (x; y; z) перемещается вдоль прямой. Если параметр t использовать в качестве переменного времени, а уравнения представить в виде формул, описывающих движение точки М, то с помощью данных уравнений можно определить прямолинейное и равномерное движение точки М. При t равным 0 точка М будет совпадать с точкой M₀.

Скорость V точки М обладает постоянным значением и рассчитывается по формуле:

Примеры задач с решением

Задача 1

Решение

Уравнение прямой, которая проходит через точки:

будет иметь следующий вид:

После того, как координаты точек А и В будут применены к первому уравнению, оно будет записано в такой форме:

После некоторых преобразований получается:

В данном случае наличие ноля в знаменателе не обозначает деление на ноль. Параметрическое уравнение прямой будет записано таким образом:

Если выразить переменные x, y, z с помощью параметра t, в итоге получится:

Задача 2

Решение

Уравнение для прямой, которая пересекает заданные точки:

будет записано таким образом:

После подстановки координат точек А и В в исходную формулу, она приобретет такой вид:

Далее можно записать параметрическое уравнение прямой:

Выразив переменные x, y, z с помощью параметра t, можно получить следующее уравнение:

Ответ: каноническое уравнение прямой, пересекающей заданные точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2) записано в следующем виде:

параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2) имеет следующий вид:

Источник

Прямая линия. Уравнение прямой.

Свойства прямой в евклидовой геометрии.

Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются

параллельными (следует из предыдущего).

В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия

задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)

подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На

плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется

уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание

прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор (α₁, α₂), компоненты которого удовлетворяют условию

Аα₁ + Вα₂ = 0 называется направляющим вектором прямой.

Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,

коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:

или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения

прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется

нормирующем множителем, то получим

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С Что-то не нашли? Ошибка? Предложения? Сообщите нам

Источник