Сумма всех биномиальных коэффициентов в разложении бинома a b n равна 128 найди n

Содержание
  1. Бином ньютона задачи с решением
  2. Биноминальное разложение с использованием треугольника Паскаля
  3. Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля
  4. Разложение бинома используя значения факториала
  5. Бином Ньютона с использованием обозначение факториала
  6. Нахождение определенного члена
  7. Нахождение (k + 1) члена
  8. Общее число подмножеств
  9. Полное число подмножеств
  10. Урок и презентация на тему: «Треугольник Паскаля. Бином Ньютона»
  11. Бином Ньютона – формула
  12. Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля
  13. Доказательство формулы бинома Ньютона
  14. Бином Ньютона – применение при решении примеров и задач
  15. 11. Свойства биномиальных коэффициентов
  16. Бином Ньютона
  17. Биноминальное разложение с использованием треугольника Паскаля
  18. Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля
  19. Разложение бинома используя значения факториала
  20. Бином Ньютона с использованием обозначение факториала
  21. Нахождение определенного члена
  22. Нахождение (k + 1) члена
  23. Общее число подмножеств
  24. Полное число подмножеств
  25. Методическая разработка занятия по теме «Бином Ньютона»
  26. «IQ и EQ как основа успешного обучения»

Бином ньютона задачи с решением

Биноминальное разложение с использованием треугольника Паскаля

1. В каждом выражении на одно слагаемое больше, чем показатель степени n.

2. В каждом слагаемом сумма степеней равна n, т.е. степени, в которую возводится бином.

3. Степени начинаются со степени бинома n и уменьшаются к 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, т.е. степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.

4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения до «половины пути», а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.

первой и последнее числа 1;
второе число равно 1 + 5, или 6;
третье число это 5 + 10, или 15;
четвертое число это 10 + 10, или 20;
пятое число это 10 + 5, или 15; и
шестое число это 5 + 1, или 6.

Мы можем обобщить наши результаты следующим образом.

Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля

Разложение бинома используя значения факториала

Бином Ньютона с использованием обозначение факториала

Для любого бинома (a + b) и любого натурального числа n,
imgFig7.

Бином Ньютона может быть доказан методом математической индукции. Она показывает почему imgFig6называется биноминальным коэффициентом.

Нахождение определенного члена

Предположим, что мы хотим определить тот или иной член термин из выражения. Метод, который мы разработали, позволит нам найти этот член без вычисления всех строк треугольника Паскаля или всех предыдущих коэффициентов.

Обратите внимание, что в биноме Ньютона imgFig10дает нам 1-й член, imgFig11дает нам 2-й член, imgFig12дает нам 3-й член и так далее. Это может быть обощено следующим образом.

Нахождение (k + 1) члена

(k + 1) член выражения (a + b) n есть imgFig13.

Общее число подмножеств

Полное число подмножеств

Пример 8 Сеть ресторанов Венди предлагает следующую начинку для гамбургеров:
.
Сколько разных видов гамбургеров может предложить Венди, исключая размеры гамбургеров или их количество?

Решение Начинки на каждый гамбургер являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это просто гамбургер. Общее число возможных гамбургеров будет равно
imgFig18
. Таким образом, Венди может предложить 512 различных гамбургеров.

Урок и презентация на тему: «Треугольник Паскаля. Бином Ньютона»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Выпишем для наглядности все наши формулы:
$(a+b)^1=a+b$.
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$(a+b)^3=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
$(a+b)^4=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)(a+b)=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.

Давайте проведем небольшой анализ полученных формул.

Обратить внимание: показатель степени в левой части равен сумме показателей степеней в правой части для любого слагаемого.

Для четвертой степени, очевидно, что слева показатель равен 4. В правой части показатель степени при первом слагаемом равен для а четырем, для b нулю и в сумме равен 4.

Ребята, посмотрите внимательно на коэффициенты в правой части. Что он вам напоминает? Правильно, коэффициенты образуют треугольник Паскаля.

Эти два замечательных свойства, замеченных выше, позволяют вычислять сумму двух одночленов в n-ой степени:
$(a+b)^n=C_n^ a^n+C_n^ a^b+C_n^ a^b^2+C_n^ a^b^3+. +C_n^ a^b^k+. +C_n^ab^+C_n^ b^n$.

Полученная нами формула называется «Бином Ньютона».

Коэффициенты, стоящие перед слагаемыми, это биномиальные коэффициенты.

Бином Ньютона – формула

В формуле сокращенного умножения a + b 2 = C 2 0 · a 2 + C 2 1 · a 1 · b + C 2 2 · b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
просматривается формула бинома Ньютона, так как при n = 2 является его частным случаем.

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля

Представление биномиальных коэффициентов для различных n осуществляется при помощи таблицы, которая имеет название арифметического треугольника Паскаля. Общий вид таблицы:

Показатель степени Биноминальные коэффициенты
C 0 0
1 C 1 0 C 1 1
2 C 2 0 C 2 1 C 2 2
3 C 3 0 C 3 1 C 3 2 C 3 3
n C n 0 C n 1 C n n – 1 C n n

При натуральных n такой треугольник Паскаля состоит из значений коэффициентов бинома:

Показатель степени Биноминальные коэффициенты
1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
n C n 0 C n 1 C n n – 1 C n n

Боковые стороны треугольника имеют значение единиц. Внутри располагаются числа, которые получаются при сложении двух чисел соседних сторон. Значения, которые выделены красным, получают как сумму четверки, а синим – шестерки. Правило применимо для всех внутренних чисел, которые входят в состав треугольника. Свойства коэффициентов объясняются при помощи бинома Ньютона.

Доказательство формулы бинома Ньютона

Имеются равенства, которые справедливы для коэффициентов бинома Ньютона:

Для этого необходимо применить метод математической индукции.

Для доказательства необходимо выполнить несколько пунктов:

Производим группировку слагаемых

C n – 1 1 + C n – 1 0 = C n 1 C n – 1 2 + C n – 1 1 = C n 2 ⋮ C n – 1 n – 1 + C n – 1 n – 2 = C n n – 1

Произведем подстановку в полученное равенство. Получим, что

Формула бинома доказана.

Бином Ньютона – применение при решении примеров и задач

Для полного понятия использования формулы рассмотрим примеры.

Решение

Ответ: a + b 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 a b 4 + b 5

Решение

Ответ: C n k = C 10 5 = 252

Ниже приведен пример, где используется бином для доказательства делимости выражения с заданным числом.

Решение

Необходимо представить выражение в виде 5 n = 4 + 1 n и воспользоваться биномом Ньютона. Тогда получим, что

Источник

11. Свойства биномиальных коэффициентов

Свойство 3 является следствием формулы бинома Ньютона:

image166. (9.1)

Поэтому сочетания еще иногда называют биномиальными коэффициентами.

Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна 2n. Сумма биномиальных коэффициентов членов разложения, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, и равно 2n–1.

Пример 9.1. Найти разложение степени бинома (2x–3)5.

Решение. Полагая a=2x, b=–3, получим

image167

Пример 9.2. Пятый член разложения image168не зависит от x. Найти n.

Решение. Пятый член разложения T5 имеет следующий вид:

image169.

По условию T5 не зависит от x; это означает, что показатель степени при x равен нулю, т. е. (n–4)/3–4=0. Из последнего уравнения находим n=16.

Пример 9.3. Вычислить сумму

image170.

Решение. Согласно формуле бинома Ньютона, при любом x имеем равенство:

image171.

Полагая здесь x=1, получим

image172.

Итак, искомая сумма равна 35, т. е. 243.

9.1. Напишите разложение степени бинома

А) image173; б) image174; в) image175.

Ответ: а) image176,

Б) image177,

В) image178.

9.2. Найдите пятый член разложения image179.

Ответ: image180.

9.3. Найдите два средних члена разложения image181.

Ответ: image182иimage183.

9.4. Найдите в биномиальном разложении image184член, не содержащий x.

Ответ: image185 0.

9.5. Найдите сумму image186.

Ответ: image187.

9.6. Сумма биномиальных коэффициентов разложения image188равна 64. Напишите член, не содержащий переменную x.

Ответ: n=6, image189.

Источник

Бином Ньютона

Биноминальное разложение с использованием треугольника Паскаля

1. В каждом выражении на одно слагаемое больше, чем показатель степени n.

2. В каждом слагаемом сумма степеней равна n, т.е. степени, в которую возводится бином.

3. Степени начинаются со степени бинома n и уменьшаются к 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, т.е. степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.

4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения до «половины пути», а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.

первой и последнее числа 1;
второе число равно 1 + 5, или 6;
третье число это 5 + 10, или 15;
четвертое число это 10 + 10, или 20;
пятое число это 10 + 5, или 15; и
шестое число это 5 + 1, или 6.

Мы можем обобщить наши результаты следующим образом.

Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля

Разложение бинома используя значения факториала

Бином Ньютона с использованием обозначение факториала

Для любого бинома (a + b) и любого натурального числа n,
imgFig7.

Бином Ньютона может быть доказан методом математической индукции. Она показывает почему imgFig6называется биноминальным коэффициентом.

Нахождение определенного члена

Предположим, что мы хотим определить тот или иной член термин из выражения. Метод, который мы разработали, позволит нам найти этот член без вычисления всех строк треугольника Паскаля или всех предыдущих коэффициентов.

Обратите внимание, что в биноме Ньютона imgFig10дает нам 1-й член, imgFig11дает нам 2-й член, imgFig12дает нам 3-й член и так далее. Это может быть обощено следующим образом.

Нахождение (k + 1) члена

(k + 1) член выражения (a + b) n есть imgFig13.

Общее число подмножеств

Полное число подмножеств

Пример 7 Сколько подмножеств имеет множество ?

Решение Начинки на каждый гамбургер являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это просто гамбургер. Общее число возможных гамбургеров будет равно
imgFig18
. Таким образом, Венди может предложить 512 различных гамбургеров.

Источник

Методическая разработка занятия по теме «Бином Ньютона»

Новые аудиокурсы повышения квалификации для педагогов

Слушайте учебный материал в удобное для Вас время в любом месте

откроется в новом окне

Выдаем Удостоверение установленного образца:

0229 00081878 a61e4e0c

«IQ и EQ как основа успешного обучения»

Изучаемые вопросы 1. Понятие бинома Ньютона

2. Свойства бинома и биномиальных коэффициентов

3. Типовые задачи по теме «Бином Ньютона»

4. Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)

Понятие бинома Ньютона

Биномом Ньютона называют разложение вида:

hello html 65e09b43

Но, строго говоря, всю формулу нельзя назвать биномом, так как «бином» переводится как «двучлен». Кроме того, формула разложения была известна еще до Ньютона, Исаак Ньютон распространил это разложение на случай n n – дробного.

Цель изучения бинома Ньютона – упрощение вычислительных действий.

Компоненты формулы «бином Ньютона»:

правая часть формулы – разложение бинома;

hello html 4dd68b38 hello html 4aef4b76– биномиальные коэффициенты, их можно получить с помощью треугольника Паскаля (пользуясь операцией сложения).

Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.

Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой степени:

hello html m664c2282

Альтернатива треугольнику Паскаля:

перемножить почленно четыре скобки:

hello html m6d0ebd36;

вспомнить разложение бинома Ньютона четвертой степени:

hello html 1c127380

где Т – член разложения; hello html m6c926f01– порядковый номер члена разложения.

Свойства бинома и биномиальных коэффициентов

hello html 26cc22fb

Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно hello html 6f32399

Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома, то есть n

Рассмотрим hello html m6c926f01-й член разложения: hello html 6c015899

Сумма показателей степеней a и b : hello html me070294

Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой: hello html m75460531(правило симметрии)

Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна hello html 1eb6beff

hello html m3eca9b28

Пусть hello html m66c74249, тогда:

левая часть равна hello html m164d64ae;

правая часть равна hello html m79357542

Тогда: hello html m379454ec hello html m67da4ed9

Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна hello html m62d8e0d5

hello html 16bfd49b

Правило Паскаля: hello html 15f5d65c

Любой биномиальный коэффициент, начиная со второго, равен произведению предшествующего биномиального коэффициента и дроби hello html 36eced36

hello html m1227b2b5

Типовые задачи по теме «Бином Ньютона»

К типовым (стандартным) заданиям по данной теме можно отнести задачи на вычисление, среди которых:

Найти член (номер члена) разложения бинома

Вывести бином по известным членам разложения (по известной сумме)

Вычислить сумму биномиальных коэффициентов разложения бинома

Продемонстрируем на примерах (их решение несложное, поэтому большинство предлагаем решить самостоятельно).

Разложить по формуле бином hello html ma15f390

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на знакочередование!

Найти шестой член разложения hello html 6a31512d

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на знак!

Лучше начинать рассуждения со следующего: hello html m6a347110

Найдите два средних члена разложения hello html 7f4fd259

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на то, что эти члены равноотстоят от конца, поэтому их биномиальные коэффициенты будут равны.

НЕ ЗАБУДЬТЕ в процессе решения проводить преобразования степеней с одинаковыми основаниями (то есть упрощать).

В биномиальном разложении hello html 5d6240f6найти член разложения, не содержащий х

hello html 3cab36da

Так как в разложении мы ищем член не содержащий х, то hello html 1765cc34

Тогда hello html m3be15564

Ответ: hello html m6edd58be

Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона

(нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)

К нестандартным заданиям по данной теме можно отнести такие, в которых нет явного намека на необходимость использования бинома. Однако в итоге, решение сводится к нему и выглядит очень интересным.

Доказать, что для любых hello html 4a2e88c4и для любых hello html m2390520eверно неравенство Бернулли:

hello html mae72dc2

Пусть hello html m5fc1f5e5

Так как hello html 4a2e88c4, то hello html m671dc2b

Переформулируем требование: Доказать, что hello html m4b04269c, где hello html m6a3ac1b0

hello html m7bff96d1

Так как hello html 5a0cbcd8, значит в разложении как минимум три члена разложения, тогда:

hello html 2ca80d4

Это означает, что hello html mae72dc2

Доказать, что hello html 198b0478

(Подсказка: используйте неравенство Бернулли)

Доказать, что при любом натуральном n число hello html 784eaf84делится на 9

hello html m7a55d4db

hello html m1827fa8b

Начнем рассматривать бином в общем виде:

hello html m75c29f7e

Тогда hello html 7afed67d

Решить уравнение hello html 2b760adb

Осуществим замену: hello html 55ae74cf

Тогда уравнение перепишем: hello html 409c23a3

Применим формулу бинома к левой части уравнения:

hello html 34c7ca92

В итоге hello html m7ef3b772

Ответ: hello html m463a91cf

hello html m37d04e8f

Дополнительные задания для самостоятельного выполнения

Найти номер члена разложения бинома hello html 2829748e, не содержащего х.

Найти пятый член разложения бинома hello html 4feac3f2.

Найти сумму биномиальных коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах в разложении бинома hello html m43a71909, если биномиальный коэффициент третьего члена на 9 больше биномиального коэффициента второго члена.

Найти седьмой член разложения бинома hello html m45df10, если биномиальный коэффициент третьего члена равен 36.

Сколько членов разложения бинома hello html 557da717являются целыми числами?

Вычислить сумму hello html m61fc2227.

Найти алгебраическую сумму коэффициентов многочлена относительно х, получаемого в разложении бинома hello html d71a8b9.

Сумма нечетных биномиальных коэффициентов разложения hello html 7025b93равна 512. Найти слагаемое, не содержащее х.

При каких значениях х четвертое слагаемое разложения hello html 2056dfecбольше двух соседних с ним слагаемых?

В какую наибольшую степень следует возвести бином hello html f6f770bчтобы отношение четвертого слагаемого разложения к третьему было равно hello html m6d4abde3?

Источник

Adblock
detector