Сумма биномиальных коэффициентов стоящих на четных местах

11. Свойства биномиальных коэффициентов

Свойство 3 является следствием формулы бинома Ньютона:

image166. (9.1)

Поэтому сочетания еще иногда называют биномиальными коэффициентами.

Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна 2n. Сумма биномиальных коэффициентов членов разложения, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, и равно 2n–1.

Пример 9.1. Найти разложение степени бинома (2x–3)5.

Решение. Полагая a=2x, b=–3, получим

image167

Пример 9.2. Пятый член разложения image168не зависит от x. Найти n.

Решение. Пятый член разложения T5 имеет следующий вид:

image169.

По условию T5 не зависит от x; это означает, что показатель степени при x равен нулю, т. е. (n–4)/3–4=0. Из последнего уравнения находим n=16.

Пример 9.3. Вычислить сумму

image170.

Решение. Согласно формуле бинома Ньютона, при любом x имеем равенство:

image171.

Полагая здесь x=1, получим

image172.

Итак, искомая сумма равна 35, т. е. 243.

9.1. Напишите разложение степени бинома

А) image173; б) image174; в) image175.

Ответ: а) image176,

Б) image177,

В) image178.

9.2. Найдите пятый член разложения image179.

Ответ: image180.

9.3. Найдите два средних члена разложения image181.

Ответ: image182иimage183.

9.4. Найдите в биномиальном разложении image184член, не содержащий x.

Ответ: image185 0.

9.5. Найдите сумму image186.

Ответ: image187.

9.6. Сумма биномиальных коэффициентов разложения image188равна 64. Напишите член, не содержащий переменную x.

Ответ: n=6, image189.

Источник

Доказательство формулы бинома Ньютона.

dark fb.4725bc4eebdb65ca23e89e212ea8a0ea dark vk.71a586ff1b2903f7f61b0a284beb079f dark twitter.51e15b08a51bdf794f88684782916cc0 dark odnoklas.810a90026299a2be30475bf15c20af5b

Формула бинома Ньютона для натуральных n имеет вид image001, где image002биномиальные коэффициенты, представляющие из себя сочетания из n по k, k=0,1,2,…,n, а «!» – это знак факториала).

К примеру, известная формула сокращенного умножения «квадрат суммы» вида image003есть частный случай бинома Ньютона при n=2.

Треугольник Паскаля.

Биномиальные коэффициенты для различных n удобно представлять в виде таблицы, которая называется арифметический треугольник Паскаля. В общем виде треугольник Паскаля имеет следующий вид:
image005

Треугольник Паскаля чаще встречается в виде значений коэффициентов бинома Ньютона для натуральных n:

image006

Боковые стороны треугольника Паскаля состоят из единиц. Внутри треугольника Паскаля стоят числа, получающиеся сложением двух соответствующих чисел над ним. Например, значение десять (выделено красным) получено как сумма четверки и шестерки (выделены голубым). Это правило справедливо для всех внутренних чисел, составляющих треугольник Паскаля, и объясняется свойствами коэффициентов бинома Ньютона.

Свойства биномиальных коэффициентов.

Для коэффициентов бинома Ньютона справедливы следующие свойства:

· коэффициенты, равноудаленные от начала и конца разложения, равны между собой image007, p=0,1,2,…,n;

· image008;

· сумма биномиальных коэффициентов равна числу 2, возведенному в степень, равную показателю степени бинома Ньютона: image009;

· сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

Первые два свойства являются свойствами числа сочетаний.

Доказательство формулы бинома Ньютона.

Приведем доказательство формулы бинома Ньютона, то есть докажем справедливость равенства image010.

Воспользуемся для доказательства методом математической индукции.

1. Проверим справедливость разложения для какого-нибудь n, допустим, для n = 3.
image011

Получили верное равенство.

2. Предположим, что равенство верно для n-1, то есть, что справедливо равенство image012.

3. Докажем, что верно равенство image010, основываясь на предположении второго пункта.

Поехали!
image013

Раскрываем скобки
image014

Группируем слагаемые
image015

Так как image016и image017, то image018; так как image019и image020, то image021; более того, используя свойство сочетаний image022, получим
image023

Подставив эти результаты в полученное выше равенство
image015
придем к формуле бинома Ньютона image010.

Этим доказана формула бинома Ньютона.

Общим термином «соединения» мы будем называть три вида комбинаций, составляемых из некоторого числа различных элементов, принадлежащих одному и тому же множеству (например, буквы алфавита, книги в библиотеке, машины на стоянке и т.д.).

image024

Их общее количество обозначается: image025и равно произведению:

image026

image027

Вот эти размещения: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.

640 1

Их общее количество обозначается image028и может быть вычислено по формуле:

image029

Из этой формулы ясно, что

image030

В соответствии с этим определением получим:

image031

Общее число сочетаний можно вычислить, пользуясь и другим выражением:

image032

image033

Эти сочетания: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.

Бином Ньютона. Это формула, представляющая выражение ( a + b ) n при положительном целом n в виде многочлена:

image034

Заметим, что сумма показателей степеней для a и b постоянна и равна n.

Числа image037называются биномиальными коэффициентами.

Их можно вычислить, применяя только сложение, если пользоваться следующей схемой. В верхней строке пишем две единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки. Эта схема называется треугольником Паскаля:

image038

мы можем получить результат моментально, используя таблицу:

image039

Свойства биномиальных коэффициентов.

Для доказательства достаточно положить a = b = 1. Тогда в правой части разложения бинома Ньютона мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева:

image040

2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны.

Это свойство следует из соотношения:

image041

3. Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; каждая из них равна

image042

Источник

Формула бинома Ньютона

20210413 vu tg sbscrb2

Анализ получения и применения биномных формул. Их свойства.умение раскрывать биномные уравнения

empty avatar

Содержимое разработки

img0

Формула бинома Ньютона

(а + b) 2 = а 2 + 2аb + b 2 ;

(а + b) 3 = а 3 + За 2 b + 3аb 2 + b 3 ;

img4

Проанализируем полученные формулы

Свойства биномиальных коэффициентов:

(x + a1)(x + a2). (x + an) Открыв скобки, получим:

img7

img8

Свойство биномиальных коэффициентов

Раскрыть скобки в выражении:

img11 img12

Задача. Пять девушек и трое юношей играют в волейбол. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по четыре человека, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?

img13

Решение. Понятно, если мы отберём одну команду из четырёх человек, то вторая определится автоматически. Сколькими способами можно выбрать четыре человека из восьми, чтобы в ней были один или два юноши. Посчитаем команды 1-го типа (содержащие одного юношу). Одного юношу из трёх можно выбрать

способами, трёх девушек из 5 можно выбрать способами. По принципу произведения число команд 1 типа равно

img14

Источник

Бином Ньютона.

Навигация по странице.

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля.

Треугольник Паскаля.

Биномиальные коэффициенты для различных n удобно представлять в виде таблицы, которая называется арифметический треугольник Паскаля. В общем виде треугольник Паскаля имеет следующий вид:
010

Треугольник Паскаля чаще встречается в виде значений коэффициентов бинома Ньютона для натуральных n :

011

Боковые стороны треугольника Паскаля состоят из единиц. Внутри треугольника Паскаля стоят числа, получающиеся сложением двух соответствующих чисел над ним. Например, значение десять (выделено красным) получено как сумма четверки и шестерки (выделены голубым). Это правило справедливо для всех внутренних чисел, составляющих треугольник Паскаля, и объясняется свойствами коэффициентов бинома Ньютона.

Свойства биномиальных коэффициентов.

Первые два свойства являются свойствами числа сочетаний.

Доказательство формулы бинома Ньютона.

Приведем доказательство формулы бинома Ньютона, то есть докажем справедливость равенства 001.

Получили верное равенство.

Докажем, что верно равенство 001, основываясь на предположении второго пункта.

Поехали!
021

Раскрываем скобки
022

Группируем слагаемые
023

Так как 024и 025, то 026; так как 027и 028, то 029; более того, используя свойство сочетаний 030, получим
031

Подставив эти результаты в полученное выше равенство
023
придем к формуле бинома Ньютона 001.

Этим доказана формула бинома Ньютона.

Рассмотрим подробные решения примеров, в которых применяется формула бинома Ньютона.

Напишите разложение выражения (a+b) 5 по формуле бинома Ньютона.

Найдите коэффициент бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения 008.

В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.

Доказать, что значение выражения 016, где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.

Представим первое слагаемое выражение как 017и воспользуемся формулой бинома Ньютона:
018

Источник

Расчет биномиальных коэффициентов на Си (С++) и Python

При решении задач комбинаторики часто возникает необходимость в расчете биномиальные коэффициентов. Бином Ньютона, т.е. разложение image loaderтакже использует биномиальные коэффициенты. Для их расчета можно использовать формулу, выражающую биномиальный коэффициент через факториалы: image loaderили использовать рекуррентную формулу: image loaderИз бинома Ньютона и рекуррентной формулы ясно, что биномиальные коэффициенты — целые числа. На данном примере хотелось показать, что даже при решении несложной задачи можно наступить на грабли.
Прежде чем перейти к написанию процедур расчета, рассмотрим так называемый треугольник Паскаля.

или он же, но немного в другом виде. В левой колонке строки значение n, дальше в строке значения image loaderдля k=0..n

В полном соответствии с рекуррентной формулой значения image loaderравны 1 и любое число равно сумме числа, стоящего над ним и числа «над ним+шаг влево». Например, в 7й строке число 21, а в 6й строке числа 15 и 6: 21=15+6. Видно также, что значения в строке симметричны относительно середины строки, т.е. image loader. Это свойство симметричности бинома Ньютона относительно a и b и оно видно в факториальной формуле.
Ниже для биномиальных коэффициентов image loaderя буду также использовать представление C(n,k) (его проще набирать, да и формулу-картинку не везде можно вставить.

Расчет биномиальных коэффициентов через факториальную формулу

поскольку биномиальные коэффициенты неотрицательные, будем использовать в расчетах беззнаковый тип.

Значение в очередной строке должно быть примерно в 2 раза больше, чем в предыдущей. Поэтому последний правильно вычисленный коэффициент (см треугольник выше) — это C(12,6) Хотя unsigned int вмещает 4млрд, правильно вычисляются значения меньше 1000. Вот те раз, почему так? Все дело в нашей процедуре bci, точнее в строке, которая сначала вычисляет большое число в числителе, а потом делит его на большое число в знаменателе. Для вычисления C(13,6) сначала вычисляется 13!, а это число > 6млрд и оно не влезает в unsigned int.
Как оптимизировать расчет image loader? Очень просто: раскроем 13! и сократим числитель и знаменатель на 7! В результате получится image loader. Запрограммируем расчет по этой формуле

Явно лучше, ошибка возникла при расчете C(31,15). Причина понятна — все то же переполнение. Сначала умножаем на 31 (оп-па — переполнение, потом делим на 15). А что, если использовать рекурсивную формулу? Там только сложение, переполнения быть не должно.
Что ж, пробуем:

Все, что влезло в unsigned int, посчиталось правильно. Вот только строчка с n=34 считалась около минуты. При расчете C(n,n/2) делается два рекурсивных вызова, поэтому время расчета экспоненциально зависит от n. Что же делать — получается либо неточно, либо медленно. Выход — в использовании 64 битных переменных.

Замечание по результатам обсуждений: в конце статьи добавлен раздел, где приведен простой и быстрый вариант «bcr с запоминанием» одного из участников обсуждения.

Использование 64 битных типов для расчета C(n,k)

2.8*10 19 уже не влезает в unsigned long long

Дальнейшее повышение точности и расчет при n>67

Для экстремалов и «олимпийцев»

В принципе, для практических задач точности функции bcd достаточно, но в олимпиадных задачах часто даются тесты «на грани». Т.е. теоретически может встретится задача, где точности double недостаточно и C(n,k) влезает в unsigned long long еле-еле. Как избежать переполнения для таких крайних случаев? Можно использовать рекурсивный алгоритм. Но если он для n=34 считал минуту, то для n=67 будет считать лет 100. Можно запоминать рассчтанные значения (см Дополнение после публиукации).Также можно использовать рекурсию не для всех n и k, а только для «достаточно больших». Вот процедура расчета, которая считает правильно для n 67 при малых k (к примеру, считает C(82,21)=1.83*10 19 ).

В какой-то из олимпиадных задач мне потребовалось вычислять много C(n,k) для n >70, т.е. они заведомо не влезали в unsigned long long. Естественно, пришлось использовать «длинную арифметику» (свою). Для этой задачи я написал «рекурсию с памятью»: вычисленные коэффициенты запоминались в массиве и экспоненциального роста времени расчета не было.

Дополнение после публикации

При обсуждении часто упоминаются варианты с запоминанием рассчитанных значений. У меня есть код с динамическим выделением памяти, но я его не привел. На даный момент вот самый простой и эффективный из комментария chersanya: http://habrahabr.ru/post/274689/#comment_8730359http://habrahabr.ru/post/274689/#comment_8730359

Если в программе надо использовать [почти] все коэффициенты треугольника Паскаля (до какого-то уровня), то приведенный рекурсивный алгоритм с запоминанием — самый быстрый способ. Аналогичный код годится и для unsigned long long и даже для длинной арифметики (хотя там, наверное, лучше динамически вычислять и выделять требуемый объем памяти). Конкретные значения N_MAX могут быть такими:
35 — посчитает все коэффициенты C(n,k), n 19
K_MAX — это может быть N_MAX/2+1, но не больше 35, поскольку C(68,34) за границей unsigned long long.
Для простоты можно всегда брать K_MAX=35 и не думать «войдет — не войдет» (до тех пор, пока не перейдем к числами с разрядностью >64 бита).

Расчет биномиальных коэффициентов на Python

Это дополнение появилось спустя примерно погода после публикации статьи. Автор начал осваивать Python и для тренироки я решаю олимпиадные задачи, сделанные ранее на C++. Для задач связанных в точными/длинными вычислениями приходится либо всячески исхитряться (как при расчетах биномиальных коэфиициентов), дабы избежать раннего переполнения, либо смиряться с потерей точности (перейдя к типу double) либо писать(или искать) длинную арифметику. В Python длинная арифметика уже есть, поэтому тут для вычисления биномиальных коэффициентов достаточно реализовать запоминание. Запоминать их будем в списке (передается в функцию как папаметр).

Вот вывод (без таблички)
270288240945436569515614693625975275496152008446548287007392875106625428705522193898612483924502370165362606085021546104802209750050679917549894219699518475423665484263751733356162464079737887344364574161119497604571044985756287880514600994219426752366915856603136862602484428109296905863799821216320
0.4200884663301988
Меньше полсекуды для такого коэффициента
C(68,34) (напомню — он не влезает в long long) считается за 0.017 сек и равен 28453041475240576740

Источник

Adblock
detector