Сумма биномиальных коэффициентов доказательство

Комбинаторика. Бином Ньютона

Перестановки. Факториал. Размещения. Сочетания.

Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты.

Треугольник Паскаля. Свойства биномиальных коэффициентов.

Общим термином «соединения» мы будем называть три вида комбинаций, составляемых из некоторого числа различных элементов, принадлежащих одному и тому же множеству (например, буквы алфавита, книги в библиотеке, машины на стоянке и т.д.).

alg31a

Их общее количество обозначается: alg31c и равно произведению:

alg31b

alg31d

Их общее количество обозначается alg31a2и может быть вычислено по формуле:

alg31e

Из этой формулы ясно, что

alg31f

В соответствии с этим определением получим:

alg31g

Общее число сочетаний можно вычислить, пользуясь и другим выражением:

alg31h

alg31i

Бином Ньютона. Это формула, представляющая выражение ( a + b ) n при положительном целом n в виде многочлена:

alg31j

alg31l

Числа alg31mназываются биномиальными коэффициентами.

Их можно вычислить, применяя только сложение, если пользоваться следующей схемой. В верхней строке пишем две единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки. Эта схема называется треугольником Паскаля:

alg31n

мы можем получить результат моментально, используя таблицу:

alg31o

Свойства биномиальных коэффициентов.

Для доказательства достаточно положить a = b = 1. Тогда в правой части разложения бинома Ньютона мы будем иметь сумму биномиальных коэф фициентов, а слева:

alg31p

2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны.

Это свойство следует из соотношения:

alg31q

3. Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффи циентов нечётных членов разложения; каждая из них равна

alg31r

Источник

Бином Ньютона.

Навигация по странице.

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля.

Треугольник Паскаля.

Биномиальные коэффициенты для различных n удобно представлять в виде таблицы, которая называется арифметический треугольник Паскаля. В общем виде треугольник Паскаля имеет следующий вид:
010

Треугольник Паскаля чаще встречается в виде значений коэффициентов бинома Ньютона для натуральных n :

011

Боковые стороны треугольника Паскаля состоят из единиц. Внутри треугольника Паскаля стоят числа, получающиеся сложением двух соответствующих чисел над ним. Например, значение десять (выделено красным) получено как сумма четверки и шестерки (выделены голубым). Это правило справедливо для всех внутренних чисел, составляющих треугольник Паскаля, и объясняется свойствами коэффициентов бинома Ньютона.

Свойства биномиальных коэффициентов.

Первые два свойства являются свойствами числа сочетаний.

Доказательство формулы бинома Ньютона.

Приведем доказательство формулы бинома Ньютона, то есть докажем справедливость равенства 001.

Получили верное равенство.

Докажем, что верно равенство 001, основываясь на предположении второго пункта.

Поехали!
021

Раскрываем скобки
022

Группируем слагаемые
023

Так как 024и 025, то 026; так как 027и 028, то 029; более того, используя свойство сочетаний 030, получим
031

Подставив эти результаты в полученное выше равенство
023
придем к формуле бинома Ньютона 001.

Этим доказана формула бинома Ньютона.

Рассмотрим подробные решения примеров, в которых применяется формула бинома Ньютона.

Напишите разложение выражения (a+b) 5 по формуле бинома Ньютона.

Найдите коэффициент бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения 008.

В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.

Доказать, что значение выражения 016, где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.

Представим первое слагаемое выражение как 017и воспользуемся формулой бинома Ньютона:
018

Источник

Доказательство

Сумма квадратов биномиальных коэффициентов

Знакопеременная сумма биномиальных коэффициентов

image079.

Воспользуемся формулой бинома Ньютона в которой положим а=1 и b=-1.

Как и при доказательстве основного свойства, используем равенство

(1+x) n = image184.

Умножим обе части этого равенства на (1+х) n :

(1+x) 2 n = image200 image202.

image214.

Так как слева и справа стоит один и тот же многочлен, то коэффициенты при х n слева и справа должны быть одинаковыми. Поэтому image198.

Другая, известная как треугольник Паскаля, интерпретация для биномиальных коэффициентов получается, если рассмотреть на бесконечной шашечной доске количество различных путей шашки от данной клетки до всех клеток доски.

Возьмем шахматную доску, ограниченную только с одной стороны, и поставим на поле A (черного цвета) нулевой горизонтали шашку. Двигаясь по правилам игры в шашки, она может попасть на любое поле черного цвета из области, ограниченной прямыми AB и AC. Напишем на каждом поле число способов, которыми можно попасть на данное поле. Получим

Эти числа обычно изображают в виде треугольника, при этом каждое число равно сумме двух элементов предыдущей строки, между которыми оно находится. Этот треугольник часто называют треугольником Паскаля или арифметическим треугольником.

Арифметический треугольник можно записать и в таком виде:

Отметим еще следующие особенности арифметического треугольника: все элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю, а нулевой столбец состоит из единиц. Числа, стоящие в n-й строке, являются коэффициентами в разложении бинома (1+x) n по степеням x. Поэтому их называют также биноминальными коэффициентами.

Пятая строка треугольника Паскаля имеет вид: 1 5 10 10 5 1. Поэтому

С помощью треугольника Паскаля можно доказать свойства биномиальных коэффициентов. (Смотри упражнения.)

Полиномиальной формулой называют формулу для вычисления значения выражений (x1+x2+…xk) n для различного числа слагаемых и различных натуральных степеней n.

Теорема image216

Формула доказывается аналогично формуле бинома Ньютона.

Раскроем скобки в правой части этого равенства и запишем все слагаемые в виде произведения n сомножителей x1, x2,…,xk в том порядке, в котором они появляются. Получим всевозможные размещения с повторениями букв x1, x2,…,xk, состоящие из n элементов. Используем коммутативность и приведем подобные члены. Подобными будут члены, содержащие одинаковое количество множителей x1, x2,…,xk. Членов, в которые входит k1 множителей х1, k2 множителей х2 и так далее km множителей хm, ровно Р(k1,k2,…km). Отсюда вытекает, что после приведения подобных членов выражение image218войдет с коэффициентом image220. Поэтому формула примет вид: image222.

Свойства чисел Р(k1k2…k3)

1. image224.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

11. Свойства биномиальных коэффициентов

Свойство 3 является следствием формулы бинома Ньютона:

image166. (9.1)

Поэтому сочетания еще иногда называют биномиальными коэффициентами.

Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна 2n. Сумма биномиальных коэффициентов членов разложения, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, и равно 2n–1.

Пример 9.1. Найти разложение степени бинома (2x–3)5.

Решение. Полагая a=2x, b=–3, получим

image167

Пример 9.2. Пятый член разложения image168не зависит от x. Найти n.

Решение. Пятый член разложения T5 имеет следующий вид:

image169.

По условию T5 не зависит от x; это означает, что показатель степени при x равен нулю, т. е. (n–4)/3–4=0. Из последнего уравнения находим n=16.

Пример 9.3. Вычислить сумму

image170.

Решение. Согласно формуле бинома Ньютона, при любом x имеем равенство:

image171.

Полагая здесь x=1, получим

image172.

Итак, искомая сумма равна 35, т. е. 243.

9.1. Напишите разложение степени бинома

А) image173; б) image174; в) image175.

Ответ: а) image176,

Б) image177,

В) image178.

9.2. Найдите пятый член разложения image179.

Ответ: image180.

9.3. Найдите два средних члена разложения image181.

Ответ: image182иimage183.

9.4. Найдите в биномиальном разложении image184член, не содержащий x.

Ответ: image185 0.

9.5. Найдите сумму image186.

Ответ: image187.

9.6. Сумма биномиальных коэффициентов разложения image188равна 64. Напишите член, не содержащий переменную x.

Ответ: n=6, image189.

Источник

Формула бинома Ньютона

20210413 vu tg sbscrb2

Анализ получения и применения биномных формул. Их свойства.умение раскрывать биномные уравнения

empty avatar

Содержимое разработки

img0

Формула бинома Ньютона

(а + b) 2 = а 2 + 2аb + b 2 ;

(а + b) 3 = а 3 + За 2 b + 3аb 2 + b 3 ;

img4

Проанализируем полученные формулы

Свойства биномиальных коэффициентов:

(x + a1)(x + a2). (x + an) Открыв скобки, получим:

img7

img8

Свойство биномиальных коэффициентов

Раскрыть скобки в выражении:

img11 img12

Задача. Пять девушек и трое юношей играют в волейбол. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по четыре человека, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?

img13

Решение. Понятно, если мы отберём одну команду из четырёх человек, то вторая определится автоматически. Сколькими способами можно выбрать четыре человека из восьми, чтобы в ней были один или два юноши. Посчитаем команды 1-го типа (содержащие одного юношу). Одного юношу из трёх можно выбрать

способами, трёх девушек из 5 можно выбрать способами. По принципу произведения число команд 1 типа равно

img14

Источник

Adblock
detector