Фср лоду с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

1 1

Основные определения

Дифференциальное уравнение image 24153— го порядка, вида

image 32288

называется линейным. Коэффициенты image 32289— функции независимой переменной image 27188, или постоянные числа. Функция независимой переменной image 26522называется правой частью уравнения (9.8).

Если правая часть image 32290, то уравнение (9.8) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением, сокращенно ЛНДУ. Еслиimage 32291, то уравнение

image 32478

называется линейным однородным дифференциальным уравнением, сокращенно ЛОДУ.

Если в уравнениях (9.8) и (9.9) левые части совпадают, то уравнение (9.9) называется ЛОДУ, соответствующим ЛНДУ (9.8).

Для линейного уравнения image 32464— го порядка (однородного или неоднородного) задача Коши формулируется следующим образом: определить частное решение уравнения image 32465, удовлетворяющее заданным начальным условиям image 32466, image 32467.

Свойства решений ПОДУ

Свойства решений ЛОДУ сформулируем в виде теорем.

Теорема 1. Если image 32468и image 32469— решения однородного уравнения (9.9), то сумма image 32470также решение этого уравнения.

Теорема 2. Если image 32471— решение уравнения (8.10), image 32472, то image 32473также решение этого уравнения.

Линейно независимые функции

Система функций image 32474, определенных в интервале image 32475, называется линейно независимой в этом интервале, если ни одну из этих функций нельзя представить в виде линейной комбинации остальных для всех значений image 32476.

С другой стороны, функции image 32474линейно зависимы, если существуют постоянные image 32497, не все равные нулю, такие, что для всех значений image 27188в интервале image 32475выполняется тождественно соотношение image 32477.

(Если не существуют не равные нулю постоянные image 32497, такие, что выполняется последнее тождество, то функции линейно независимы).

Структура общего решения линейного однородного уравнения

Любая система image 32464линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения image 32464— го порядка называется фундаментальной системой.

Для всякого линейного однородного дифференциального уравнения существует фундаментальная система решений.

Теорема. Если image 32498образуют фундаментальную систему решений однородного линейного уравнения (8.10), то общее решение уравнения определяется формулой

image 32510

Примечание — теорема справедлива для произвольных ПОДУ, как с постоянными, так и с переменными коэффициентами.

Пример 9.4

Уравнение image 32499имеет два частных решения image 32500и image 32501, что легко проверить подстановкой. Такие решения линейно независимы. Они образуют фундаментальную систему заданного дифференциального уравнения. Согласно теореме, общее решение уравнения: image 32502.

ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение

Если ЛОДУ имеет переменные коэффициенты, фундаментальную систему решений найти чрезвычайно сложно. Но если коэффициенты уравнения все постоянные числа, имеется единый метод определения фундаментальной системы, независимый от порядка дифференциального уравнения.

В технических приложениях чаще всего используются линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейное однородное уравнение второго порядка имеет вид:

image 32519

Чтобы найти частные решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами, нужно составить для него характеристическое уравнение и решить его.

Характеристическое уравнение составляется по следующему правилу: сохраняя коэффициенты image 32503, image 26484ЛОДУ, нужно заменить функцию image 27189единицей, а её производные — соответствующими степенями image 32504.

Для уравнения (9.11) характеристическое уравнение является квадратным алгебраическим уравнением вида

image 32526

Напомним, что решение квадратного уравнения

image 32527

определяется по формулам:

image 32532

где дискриминант image 32534.

Если image 32536, то уравнение имеет два действительных различных корня.

Если image 32540, то уравнение имеет два одинаковых корня.

Если image 32542, то уравнение не имеет действительных корней, но корни уравнения, все таки, есть.

image 32555

Обозначим image 32544и назовем image 32545мнимой единицей. Подставим значение корня из дискриминанта в формулы (9.12). Корни image 32546и image 32548будут содержать мнимую единицу image 32545. Числа, содержащие мнимую единицу, называют комплексными.

Таким образом, если image 32542, то квадратное уравнение имеет два комплексных корня вида image 32553.

При этом image 32554— действительная часть комплексного числа, image 32551— мнимая часть комплексного числа. Комплексные корни квадратного уравнения отличаются друг от друга знаком мнимой части. Такие комплексные числа называются сопряженными.

В зависимости от вида корней характеристического уравнения общее решение ЛОДУ второго порядка можно определить с помощью следующей таблицы 5 общих решений ЛОДУ второго порядка.

Таблица 5 — Общее решение ЛОДУ второго порядка

image 32556

Пример выполнения задания

Пример:

Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

В задании требуется найти частное решение однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами (ЛОДУ), удовлетворяющее указанным начальным условиям, то есть решить задачу Коши.

Задача решается в следующей последовательности:

Ход выполнения задания иллюстрируется в следующих примерах. В примере 9.5 выполнены два первых пункта задания; в примере 9.6 выполнены все пункты задания.

Пример 9.5

Найти общие решения уравнений:

image 32565

Решение:

а) Записываем характеристическое уравнение: image 32558.

Вычисляем дискриминант image 32559. Находим корень квадратный из дискриминанта: image 32560. По формулам (9.12) вычисляем корни.

image 32561. Корни уравнения комплексные и сопряжённые. Согласно пункту 3 таблицы 5 общее решение уравнения

image 32566

б) Записываем характеристическое уравнение: image 32562. В неполном квадратном уравнении дискриминант вычислять не надо; image 32563, отсюда image 32564. Действительные части корней равны нулю. Согласно пункту 4 таблицы 5 общее решение ЛОДУ имеет вид:

image 32567

в) Составляем характеристическое уравнение image 32568. Корни характеристического уравнения image 32569, что соответствует пункту 1 таблицы 5 общих решений ЛОДУ. Общее решение image 32570.

Пример 9.6

Найти частное решение уравнения image 32571, удовлетворяющее начальным условиям image 32572.

Решение:

image 32582

Запишем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

image 32583

Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

1 1

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Дифференциальные уравнения высших порядков: ЛОДУ, примеры решения.

1. В случае, когда все решения 643 17c72a9e640be14d4c6a11e8fdebd6a5характеристического уравнения 578 5c94962babe1cc10f6edd93a0007bcafявляются действительными и различными, значит, линейно независимые частные решения принимают вид:

54 969b6baeddf4278c1ecd34e44599184a,

а общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами записывают так:

610 b87e47157502b85496141a4fd2b38b70.

Найти общее решение ЛОДУ 3-го порядка с постоянными коэффициентами:

435 27567ab84a2d3a3109af4154745cc273.

Для начала записываем характеристическое уравнение и находим его корни, перед этим произведя разложение многочлена в левой части равенства на множители методом группировки:

872 eed4691f43cf4faf41007ab142652fb4

Каждый из трех корней характеристического уравнения являются действительными и различными, значит, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 3-го порядка с постоянными коэффициентами принимает вид:

835 a0d39d3b813986f8761ffc6a121360d4.

2. Когда каждое решение характеристического уравнения оказывается действительными и одинаковыми, т.е.,

634 cf3361b9d7332148796990cc6c5e5c29,

значит, линейно независимые частные решения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами принимают вид:

183 5252227405f8cde680120731025cdf70,

а общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (ДУ) принимает вид:

280 5e2c71c64c05fe7b47c035647ad1df0e

Найти общее решение ДУ

331 0aaabbd4c5ffc552e39847fbea1630c1.

Характеристическое уравнение этого линейного однородного дифференциального уравнения 4-го порядка выглядит так:

342 b34c89a589e833feaf8121bcfd2cddec.

Обратившись к формуле бинома Ньютона, переписываем характеристическое уравнение как 489 e3b96eed0efa96d3b96ffa3bb5660bed, из чего видим четырехкратный корень k0 = 2.

Т.о., общим решением заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами является:

288 e7d42d732350c8aa0d2ed286bc69bb9e.

3. Когда решениями характеристического уравнения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами оказываются разные комплексно сопряженные пары 511 5c7093581242c31e1fe93ddec7ffda0b, n=2m, тогда линейно независимые частные решения такого линейного однородного дифференциального уравнения принимает вид:

646 cfec3a5e14a853225adc5cb7ca708a2f

а общее решение записывается так:

396 d14f42b2e39df11cd4c3dc2049afe229

Проинтегрировать ЛОДУ 4-го порядка с постоянными коэффициентами 99 a70ad40ee8af29abbe623817a8946ace.

Характеристическое уравнение этого линейного однородного дифференциального уравнения:

273 949566dceae8d8f6210a0d2232a4f054.

Произведя некоторые несложные преобразования и группирования имеем:

575 61d9adb0a552a9010c35ccbfb9fa5863

Откуда находим 2 пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения 128 2e29dda1511a19e1d75221cc4b9a647aи 278 175a508b349b051004226b0633c2dc22. Тогда, общим решением заданного ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами является:

506 7d28af18a8f34d48b5214445efbc4e95

4. Когда решениями характеристического уравнения оказываются совпадающие комплексно сопряженные пары 312 01bab202468bb959d269e78e0977475c, тогда линейно независимые частные решения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами выглядят так:

135 8d08368f2dbca62669d805ed09bf1881,

а общим решением этого линейного однородного дифференциального уравнения является:

624 82e64a51e97001217c8e6b2b28ad1595

Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

988 05ffff699968776d644437506068633b.

Первым шагом записываем характеристическое уравнение этого ЛОДУ с постоянными коэффициентами и определяем его корни:

500 08045c5e698f803b4424b60d7777aca1

Т.е., решением характеристического уравнения является двукратная комплексно сопряженная пара 230 898906a41c5a5414f2745de1ca247ffd. Тогда общее решение заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами будет:

180 ef72be6b14fbf028a72e00df32b7990d.

5. Могут возникнуть любые комбинации случаев, описанных выше, т.е., некоторые корни характеристического уравнения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами являются действительными и различными, некоторые являются действительными и совпадающими, некоторые являются различными комплексно сопряженными парами и некоторые совпадающими комплексно сопряженными парами.

Найти общее решение ДУ

917 3481d3bcbde505391d26eeb2b81150fb.

Характеристическое уравнение этого ЛОДУ с постоянными коэффициентами выглядит так:

365 9c049c730215b3d0a8b6653d274f25fe.

Многочлен в левой части равенства можно разложить на множители. Из делителей свободного члена вычисляем двукратный корень k1=k2=2 и корень k3=-3. Далее, применяя схему Горнера, приходим к разложению:

233 24a890e95ba6efbc6fb4b772670e3808.

Из квадратного уравнения 7 f125978992a90065be9f782499b5c3f8находим оставшиеся корни 278 451e92fdfc2105078e8c942e6fc4d005.

Т.о., общее решение заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами выглядит как:

382 5d10a881796ba0d4eaa1043a4f1a824b.

Источник

Комфорт
Adblock
detector