Формулы для вычисления коэффициентов aij параметрических уравнений поправок

2) Вычислены истинные ошибки результатов измерений image111по формуле

image112

где image113— математическое ожидание случайной ошибки image111,

image114-среднее квадратическое отклонение измеренного превышения,

xi взяли из таблиц нормально распределенных случайных чисел /5/:

3) Вычислены измеренные значения превышений

image115

4) Вычислены веса результатов измерений

image116

Результаты моделирования приведены в таблице 3:

Моделирование нивелирной сети

image111, см

Источник

Параметрический способ уравнивания

При уравнивании сложных по построению геодезических сетей, в которых имеется обычно большое число избыточных измерений, применение коррелатного способа является практически менее выгодным. Это связано с тем, что в сложных сетях образуется сравнительно большое число геометрических условий (см. § 134), т.е. возникает необходимость решения значительного числа нормальных уравнений. При уравнивании сложных геодезических сетей предпочтение отдают параметрическому способу. В данном случае его рекомендуется применять практически для любых построений: обширных геодезических сетей триангуляции и трилатерации, для весьма сложных фигур триангуляции 3 и 4 классов, в схемах различных линейно-угловых построений и др.

Для нахождения поправок при уравнивании параметрическим способом необходимо составить параметрические уравнения связи, которые в полной мере обеспечат решение поставленной задачи. Все измеренные величины практически можно выразить через координаты точек сети, т.е. через выбранные параметры tj, что и требуется при уравнивании параметрическим способом. Так, дирекционные углы α и длины s сторон можно найти по разностям координат, горизонтальные углы, в свою очередь, выразить через разность дирекционных углов и т.п.

Рассмотрим различные виды уравнений поправок, применяемых при уравнивании параметрическим способом.

Уравнение поправок для измеренного дирекционного угла находится из параметрического уравнения связи между дирекционным углом и координатами точек данной линии: image032

image2109(14.105)

image2111. (14.106)

Известно, что image2113и image2115. С учётом этого возьмём частные производные от функции (14.106) по переменным x и y:

image2117. (14.107)

Свободный член lki уравнения поправок может быть найден из уравнения

image2119, (14.108)

Параметрическое уравнение поправок для измеренного дирекционного угла имеет вид:

image2121. (14.109)

image032 image2127, (14.110)

image2129, (14.111)

image2131(14.112)

называются коэффициентами параметрического уравнения поправок.

Уравнение поправок для измеренного направления может быть получено из следующего параметрического уравнения связи:

image2133, (14.113)

где Мki – измеренное направление; zk – ориентирующий (дирекционный) угол начального направления в точке k.

Выразим значение αki через выбранные параметры (14.105) и запишем параметрическое уравнение связи (14.113) в виде

image2135(14.114)

image2137. (14.115)

Параметрическое уравнение поправок для измеренного направления Mki будет иметь вид:

image2139, (14.116)

Свободный член уравнения поправок в направления находят по формуле

image2141,

image2143. (14.118)

Отметим некоторые особенности уравнивания направлений на пункте k:

1. Сумма свободных членов на пункте должна быть равна нулю.

2. Из-за возможных погрешностей в вычислениях расстояния между пунктами следует определять дважды:

image2145. (14.119)

3. Сумма поправок в направления на каждом пункте должна быть равна нулю.

4. Уравнения поправок для прямого и обратного направлений различаются только значениями δz и свободными членами.

5. Если а) – пункт i исходный, а пункт k определяемый, либо б) – пункт i определяемый, а пункт k исходный, либо в) – оба пункта исходные, то уравнения поправок в направления имеют соответственно следующий вид:

а) image2147

б) image2149(14.120)

в) image2151

6. Порядок уравнивания направлений в триангуляции параметрическим способом следующий (в качестве измеренных величин обычно берут направления):

— вычисляют предварительные значения координат и дирекционных углов;

— составляют параметрические уравнения связи, вычисляют коэффициенты и свободные члены уравнений поправок; составляют уравнения поправок для направлений, измеренных на пункте;

— составляют и решают нормальные уравнения поправок к предварительно вычисленным координатам;

— вычисляют окончательные значения координат пунктов;

— вычисляют поправки в измеренные направления;

— выполняют контроль обработки и оценивают точность уравненных величин (элементов сети).

Уравнение поправок для угла может быть получено на основании того, что значение угла равно разности дирекционных углов двух направлений:

image2153(14.121)

image2155. (14.122)

С учетом (14.116) можно записать, что

image2157(14.123)

image2159. (14.124)

Вычисление свободных членов lij k контролируют невязками W треугольников:

вычисляют из предварительных определений дирекционных углов и значениям измеренных горизонтальных углов β.

Уравнение поправок для измеренного расстояния находят из параметрического уравнения связи

image2161(14.127)

image2163. (14.128)

Если продифференцировать функцию (14.128) по переменным х и у, то получим частные производные

image2165. (14.129)

В этом случае параметрические уравнения поправок для измеренного расстояния будут иметь вид:

image2167, (14.130)

image2169, (14.131)

image2171. (14.132)

В уравнении поправок (14.130) все линейные величины должны быть выражены в одних и тех же единицах.

Как было сказано выше, решение задачи уравнивания параметрическим способом основано на представлении всех измеренных величин в виде функций некоторых выбранных параметров. Пусть, например, в треугольнике из n искомых элементов измерено k необходимых величин. В данном случае все избыточные элементы r можно выразить в виде их функций, т.е. здесь не возникает задачи уравнивания. Например, в треугольнике АВС измерены углы А и В и длина линии АВ = с. Остальные элементы можно найти из соотношений:

image2173(14.133)

Если же измерены избыточные (r ) параметры С, а и b либо один из них, то возникает задача уравнивания.

Обозначим необходимые элементы буквой Тj. Для указанного треугольника в этом случае имеем: А = Т1, В = Т2, с = Т3. Соотношения (14.133) здесь можно записать в виде:

image2175(14.134)

Выберем такие независимые между собой параметры Тj (j = 1, 2, …, k), функциями которых можно выразить все измеренные величины xi (i = 1, 2,…, n) Очевидно, что число таких параметров должно быть равно k необходимых измерений. Получим функции

image2177

image2179

image2181(14.135)

image2183

Равенства (14.135) называют параметрическими уравнениями связи.

Поскольку истинные значения Тj бывают неизвестными, то в процессе уравнивания получают их вероятнейшие значения, а затем находят уравненные значения всех измеренных величин.

Из (14.136) следует, что

Если уравнения (14.136) имеют нелинейный вид, то решение этой системы уравнений практически невозможно.

Для решения системы уравнений (14.136) для параметров tj находят такие значения tj о (с такой их точностью), чтобы равенства (14.136) можно было привести к линейному виду разложением в ряд Тейлора с ограничением только членами первого порядка.

Для значений tj можно записать, что

Разложим функцию (14.139) в ряд Тейлора, ограничиваясь первыми членами разложения:

image2185. (14.140)

image2187(14.141)

Первый индекс при параметре а показывает номер параметрического уравнения связи (измеренной величины), а второй – номер параметра t (и поправки τ. В общем виде

image2189. (14.142)

C учётом (14.143) систему уравнений (14.139) можно записать в развёрнутом виде:

image2191

image2193

image2195(14.144)

image2197

image2199

В системе n уравнений (14.144) содержится (n+k) неизвестных, в связи с чем эта система является неопределённой. Так же, как и в коррелатном способе уравнивания, решение данной системы определяется условием минимума сумм квадратов поправок, т.е. [pv 2 ] = min.

Опуская промежуточные математические преобразования (о них можно посмотреть в соответствующей геодезической литературе), приведём окончательный вид системы нормальных уравнений, которая состоит из k уравнений с k неизвестными τj с учётом весов pi измеренных величин и значений li свободных членов параметрических уравнений поправок:

В выражениях (14.145) индексы при коэффициентах а соответствуют вторым индексам коэффициентов aij в выражениях (14.144).

Для раскрытия гауссовых сумм в (14.145) составим матрицу коэффициентов aij с весами pi результатов измерений и со свободными членами li (табл. 14.15).

C учётом табл. 14.15 и выражений (14.145) приведём принцип раскрытия гауссовых сумм.

Матрица коэффициентов, свободных членов и весов

j i j k li pi
a11 a12 a13 a1j a1k l1 p1
a21 a22 a23 a2j a2k l2 p2
a31 a32 a33 a3j a3k l3 p3
i ai1 ai2 ai3 aij aik li pi
n an1 an2 an3 anj ank ln pn

Уравнение 1.

Коэффициент при τ1 равен сумме произведений веса с индексом аргумента (измеренной величины) на квадрат коэффициента 1-го столбца (диагональный коэффициент), т.е.

Коэффициент при τ2 равен сумме произведений веса соответствующего аргумента и коэффициентов 1-го и 2-го столбцов, т.е.

Свободный член уравнения 1 равен сумме произведений веса рi, свободного члена li и коэффициента a соответствующего столбца, т.е.

Уравнение 2.

Коэффициент при τ1 равен сумме произведений веса соответствующего аргумента и коэффициентов 2-го и 1-го столбцов, т.е.

Коэффициент при τ2 равен сумме произведений веса с индексом аргумента на квадрат коэффициента 2-го столбца (диагональный коэффициент), т.е.

Коэффициент при τ3 равен сумме произведений веса соответствующего аргумента и коэффициентов 2-го и 3-го столбцов, т.е.

Далее выполняются действия со 2-м столбцом и последующими оставшимися столбцами.

Свободный член уравнения 2 равен сумме произведений веса рi, свободного члена li и коэффициента a соответствующего столбца, т.е.

Вычисление коэффициентов остальных уравнений аналогично. Коэффициенты последнего уравнения с индексом k являются диагональными.

Здесь, как и в коррелатном способе уравнивания, коэффициенты с с противоположными индексами равны друг другу. Следовательно, достаточно определить все диагональные коэффициенты и все коэффициенты, находящиеся справа от диагональных, а остальные записать в уравнениях поправок такими же, как и противоположные им по индексам.

Таким образом, получается система линейных уравнений поправок τj:

image2201(14.146)

Приведем последовательность уравнивания геодезических построений параметрическим способом.

Шаг 4.Вычисляют приближенные значения tj 0 параметров tj. Часто для этого выполняют предварительные вычисления (обработку) в схемах геодезических построений. Иногда выполняют предварительное уравнивание упрощенными способами, часто способом раздельного уравнивания.

Шаг 5.Вычисляют по формулам (14.141), в общем виде – (14.142) или (14.144), коэффициенты aij и свободные члены li параметрических уравнений поправок vi (14.143), т.е. функции (14.135) приводят к линейному виду.

Шаг 7. Выражают поправки vi к измеренным величинам xi через значения поправок τj (14.143) и определяют их значения.

Шаг 8. Bыполняют уравнивание измеренных величин xi‘ =( xi + vi) и параметров tj =( tj o + τj) и контролируют правильность решения задачи по равенствам (14.135).

В качестве рекомендации следует отметить, что предварительные вычисления в уравниваемых построениях лучше выполнять после предварительного, нестрогого уравнивания. Например, в полигонометрическом ходе выполнить уравнивание углов, затем – приращений координат. В цепочке треугольников выполнить предварительное уравнивание углов отдельных треугольников и т.п.

Источник

Суть параметрического способа уравнивания

В данном способе устанавливается связь между измеренными величинами и определяемыми.

Измеренными величинами в плановых геодезических сетях в основном являются длины линий, углы и направления. Определяемыми – координаты определяемых пунктов. В пространственных геодезических сетях GPS – измеренными являются приращения координат, а определяемыми – пространственные координаты определяемых пунктов. В нивелирных сетях измеряемыми являются приращения, а определяемыми – высоты пунктов.

Например, пусть в некоторой сети измерены длины сторон S1, S2,S3,S4 (рис. 22), известными являются координаты исходных пунктов А и В.

Определяемыми являются координаты пунктов 1 и 2. Всего четыре неизвестных: x1, y1,x2, y2. Для определения необходимо и решить следующие четыре уравнения:

img

img yCTgr7

img Z1 ACH

img p1Uyl3

В данной системе – четыре уравнения с четырьмя неизвестными, которые называются параметрами. А сами уравнения называются параметрическими. Если измерить дополнительно сторону S5 между пунктами 1 и 2, то можно записать еще одно уравнение

img bKlTd6

Тогда получится пять параметрических уравнений с теми же четырьмя неизвестными. Система уравнений связи будет переопределена. Ей будет соответствовать множество решений. Это вызвано тем, что неизвестные величины S1, S2,S3,S4, S5 являются результатами измерений, которые отягощены ошибками измерений. Из этого множества необходимо выбрать такое решение, которое удовлетворяет статистическим свойствам оценок: несмещенности, достаточности, эффективности.

К настоящему времени методы решения нелинейных систем уравнений разработаны недостаточно. Поэтому данные уравнения приводят к линейному виду и решение выполняют методом приближений. Линеаризованные уравнения выражаются через поправки к измеренным величинам и параметрам и называются параметрическими уравнениями поправок.

Параметрические уравнения поправок

а) Уравнение поправок сторон.

Линеаризация параметрического уравнения измеренной стороны выполняется разложением его в ряд Тейлора.

Пусть известны с определенной точностью приближенные значения координат определяемых пунктов img cRP0Lz. Они могут быть найдены по измеренным значениям линий или углов, или наперед заданными. Измеренную между ними длину стороны обозначим черезS. В результате уравнивания должны быть получены такие поправки img 9ETpfn, при которых удовлетворяется равенство

img lgNs3O(104)

Разложение выражения, стоящего в (104) справа от знака равенства, в ряд Тейлора приводит к следующему равенству

img pX4QAs(105)

Найдем теперь частные производные

img RFkYWr(106)

imgimg RcScco

Напомним, что при разложении ряд Тейлора частные производные берутся при начальных значениях: img sn9YFL.

img(107)

С учетом полученных выражений производных (106), (107) параметрического уравнения представим вид

img 1fRwdH

img TrUcTJ(108)

где img VAoslH

б) Уравнение поправок направлений.

При измерении направлений зрительной трубы теодолита наводят на точку и берут отсчет М по горизонтальному кругу. Пусть имеется n таких отсчетов на n точек: М1, М2,…,Мn. Назовем их измеренными направлениями.

Введем дополнительное неизвестное – дирекционный угол направления, соответствующего нулевому отсчету по лимбу. Его называют еще ориентирующим углом. Тогда дирекционные углы направлений будут:

img

Исходя из этих выражений можно записать, что

img 6SoKeO

Для направления из точки 1 в точку 2 можно записать

img W6VsAy(109)

где img E82cYn

Из-за ошибок измерения направлений и наличия лишь приближенных координат определяемых пунктов уравнение (109) не выполняется.

img OBiINq

Приближенное значение дирекционного угла img UnTz7jвычислено по приближенным координатамimg gh0ryuопределяемых пунктов, в значения которых должны быть введены поправкиimg iQpQle.

Поправки imgдолжны быть такими, чтобы в соответствии с (109) выполнялось равенство

img joY0g6(110)

Разлагая в (110) функцию arctg в ряд Тейлора найдем

img fcdcDf

Найдем частные производные этой функции по всем параметрам

img Ir Rbq

img QqMblQ

img QKq2Z5

img jThsj9(111)

img 3zoL08

img 7EkTwV

img Sbgz 2(112)

img 1OP0GH(113)

img wF4Z 5(114)

С учетом выражений для частных производных (111)-(114) параметрическое уравнивание поправок будет иметь вид

img hXioN1

img EsbSz6(115)

где img qr1zWp

Если одна из точек направления является исходным пунктом, то ее координаты считают безошибочными и потому поправки в ее координаты принимают равными нулю. В том случае, если ошибками координат исходных пунктов пренебречь нельзя, выполняют уравнивание с учетом ошибок исходных данных, которое здесь не рассматривается.

в) Уравнения поправок GPS-построений.

В геодезических сетях, построенных с помощью GPS, измеряются приращения координат img 8spRStмежду пунктами 1 и 2 (рис. 24) в геоцентрической системе координатimg NuT8oc. Эту систему еще называют спутниковой

Справедливы следующие очевидные равенства

img

img ajwFjw

где x1, y1,x2, y2 – геоцентрические координаты точек 1 и 2.

Если задаться приближенными значениями координат определяемых пунктов img bFn8JEа поправки измеренных приращений обозначить черезimg jBvALoсоответственно, то после уравнивания должны выполняться следующие равенства

img foK3wE

на основе которых получают уравнения поправок

img lL6ozE(116)

где img 05kXE4

Следует отметить, что в геодезических сетях координаты исходных пунктов приведены в наземной системе координат, например xyz.

В этом случае по угловым и линейным элементам ориентирования их необходимо перевычислить в спутниковую систему и уравнение выполнять в этой системе. При этом элементы ориентирования могут быть заданы с определенной точностью или быть неизвестными. В последнем случае они выступают как дополнительные параметры. Если в их качестве принять углы Эйлера img ACPyhnи масштабный факторm то уравнение поправок в матричном виде будет таким

img 5KFmuz

img 5kHAGJ

img

а img f8wGDk– приращения координат в спутниковой системе координат, полученные по приближенным значениямimgуглов Эйлера и масштабного фактораimg GLchAk– поправки в приближенные значения Эйлера и масштабного фактора.

Приближенные значения координат определяемых пунктов в спутниковой системе находятся по приближенным значениям параметров и приближенным координатам этих пунктов в наземной системе координат. В данном случае перевычисляют не координаты, а приращения координат, которые используются для вычисления свободных членов.

Источник

Комфорт
Adblock
detector