Формулы динамики тела переменной массы

Движение тела с переменной массой. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского

Вы будете перенаправлены на Автор24

Уравнение движения тела с переменной массой

Под переменной массой будем понимать массу тел, которая при медленном движении тел меняется за счет потери или приобретения вещества.

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. На ракету действуют внешние силы: сила земной тяжести, гравитационное притяжение Солнца и планет, а также сила сопротивления среды, в которой движется ракета.

fiz166

Готовые работы на аналогичную тему

Уравнение Мещерского

Формула Циолковского

Последнее соотношение называется формулой Циолковского.

Величина достигаемой ракетой максимальной скорости не зависит от времени сгорания топлива.

Оптимальным путем изменения достигаемой максимальной скорости является увеличение относительной скорости истечения газов.

Для получения первой космической скорости при меньшем соотношении между массой ракеты и требуемой массы топлива целесообразно использование многоступенчатых ракет.

Примеры

Решение:

Ускорение корабля по абсолютной величине равно:

Решение:

fiz167

Запишем уравнение Мещерского в однородном поле тяготения Земли в виде:

Подставляя начальные значения, получаем:

Источник

natural history mini

book scienceforum mini

2003 image001

Znak natc konkurs

diplom ruk big

Spivak

image 2003 5 600

image 2003 4 200

Динамика тел переменной массы

Аннотация

Настоящий реферат посвящен динамике тел переменных масс. В реферате описан вывод обобщенного уравнения Мещерского, приведены его частные случаи. Рассмотренынекоторыеклассическиезадачидинамикиточкипеременноймассы.

Abstract

This abstract is dedicated to the dynamics of bodies with variable mass. The abstract describes the derivation of the Meshchersky generalized equation, also its particular cases are given. Some classical problems of dynamics of a point of variable mass are considered.

Введение

В некоторых задачах механики предпочтительнее рассматривать не движение системы материальных точек, а движение некоторого объекта, ограниченного замкнутой поверхностью, через которую движется поток материальных частиц. К такому типу относятся задачи, связанные с движением жидкостей, расчетом двигательных установок различных аппаратов (в частности, ракетных двигателей) а также задачи, связанные с движением ракет, при котором двигатель выбрасывает поток газа. Нас, естественно, интересует движение корпуса ракеты, а не центра масс

системы «ракета-сгоревший газ». Ракета является ярким примером движущегося тела переменной массы.

Примеров движущихся тел, масса которых заметно изменяется в процессе движения, множество как в различных областях производства (вращающееся веретено, на которое навивается нить; рулон газетной бумаги, разматывающийся на валу печатной машины и т. п.), так и в природе (изменение массы ядра кометы,возрастание массы Земли вследствие падения на ее поверхность метеоритов, таяние плавающей льдины и др.).

Следует отметить, что в теоретической механике переменность массы понимается не в смысле ее возникновения или исчезновения, а в смысле присоединения или отделения либо совместного ‚присоединения и отделения частиц. Предметом дальнейшего рассмотрения будет система частиц с постояннымимассами, состав которой изменяется: некоторое количество частиц покидает рассматриваемую систему, новые частицы к нейприсоединяются.

Хотя изменение массы мы наблюдаем лишь в случае тел конечных размеров, тем не менее, в динамике тел с переменноймассой (переменным составом), введение понятия материальной

Основное уравнение движения точки переменной массы было получено И. В. Мещерским в 1897 г. в его магистерской диссертации. В 1898 г. результаты диссертации были им обобщены на случай одновременного присоединения и отделения частиц. Позже эта теория получила окончательное выражение в его работе «Уравнение движения точки переменной массы в общем случае», которая была опубликована в первом номере журнала «Известия Санкт-Петербургского политехнического института» в 1904 году. Эти две работы составили «теоретический фундамент современной ракетодинамики.[2].

С конца 1930-х годов Космодемьянский серьезно занимается работами И. В. Мещерского и К. Э. Циолковского. В 1949 г. он издает книгу Мещерского «Работы по механике тел переменной массы» со своим предисловием и вступительной статьей.

В 1946 г. в Докладах АН СССР опубликована работа Космодемьянского «Экстремальные задачи динамики точки переменной массы». С применением методов вариационного исчисления решается задача определения оптимального закона изменения массы ракеты при вертикальном движении ее центра масс в однородном поле тяготения и однородной атмосфере. Было получено конечное выражение для отношения текущего значения массы к начальной в зависимости от скорости движения и закона сопротивления атмосферы.

В 1947 г. Космодемьянский публикует работу, посвященную динамике системы точек переменной массы («Механика тел переменной массы», ВВИА им. Н. Е. Жуковского), в которой основное уравнение Мещерского суммировалось по всем точкам системы. Работа посвящена построению общей теории движения тел переменной массы, в ней сформулированы основные теоремы ракетодинамики: теорема об изменении количества движения, о движении центра масс, об изменении кинетического момента и кинетической энергии системы.

Расширенный и уточненный вариант этой работы выходит в 1951 г. («Общие теоремы динамики тела переменной массы». Ученые записки МГУ. Механика. Вып. 152). В этой работе были охвачены случаи, когда происходит и внутреннее относительное движение присоединяющихся или отделяющихся масс; получены уравнение движения тел переменной массы в обобщенных координатах и в канонической форме.

Обобщенноеуравнение Мещерского является основным в разделе «Динамикател переменной массы», составляющим теоретическую базу ракетодинамики.

Принципиальным допущением, позволяющим получитьдифференциальное уравнение движения точки переменной массы, является гипотезаблизкодействия (контактного взаимодействия), согласно которойчастицы изменяют количество движения точки только в моментих непосредственного контакта. Как только отделяющаяся частица получает относительную скорость по отношению к точке, еевоздействие на точку прекращается. Присоединяющаяся частицадо момента контакта с точкой не взаимодействует. Ввиду того, чтоскорости присоединяющихся или отделяющихся частиц в моментконтакта, вообще говоря, отличаются от скорости точки, она будет испытывать удары со стороны этих частиц. Для случая непрерывного изменения массы точки воздействие таких ударов нанее аналогично действию некоторых дополнительных сил, называемых реактивными.

Эта теория вызывает интерес не только у механиков, но и у математиков. К примеру, в работе А.В.Гохмана [5] рассматривается движение точки с переменной массой m(t) без воздействия внешних сил. Он доказывает, что всякому такому движению соответствует геодезическая в некотором четырехмерном пространстве, представляющем собой специальное реономное пространство с так называемой s-финслеровой связностью.[5]

Обобщенное уравнение Мещерского[1,3,6]

Рассмотрим случаи, для которых процесс изменения массы происходит непрерывно. При скачкообразном изменении массы соответствующие задачи решаются путем применения общих теорем динамики тел постоянной массы, а также методами теории удара.

Запишем количество движения этой механической системы в моменты времени t и t + ∆t. Получим:

Учитывая, что, получим

Теорему об изменении количества движения системыс учетом (3) запишем в виде

Уравнение (4) называется обобщенным уравнением Мещерского. Обозначим

Сила 12P´> называется реактивной и представляет собой геометрическую сумму реактивных сил обусловленных присоединением 12P1´> и отделением 12P2´> частиц.

Уравнение Мещерского является частным случаем второго закона Ньютона:

для случая, когда масса непостоянна.

Частные случаи уравнения Мещерского[1,3]

1. Имеет место лишь процесс отделения масс. Тогда

и уравнения (4), (5) примут вид

2. Происходит лишь присоединение частиц. Тогда 12m2´> ≡ 0, 12dMdt´>= 12dm1dt´>

и обобщенное уравнение Мещерского можнопредставить в следующих формах:

Реактивные силы при этом будут

4. Относительные скорости частиц в моменты присоединения и отделения равны нулю, т. е. 12u1´>= 12u2´>= 0, либо, если происходит только присоединение или только отделение, то соответственно 12u1´>= 0 или 12u2´>= 0.В этом случае обобщенное уравнение Мещерского имеет вид

5. Одновременно происходит присоединение и отделение частиц при равных скоростях центров масс присоединяющихся и отделяющихся частиц, т. е. 12v1´> = 12v2´>= 12v0´> (при этом 12u1´> = = 12u2´>= 12u0´>). Обобщенное уравнение Мещерского в этом случае можно представить в следующих формах:

6. Пусть масса присоединившихся частиц за любой промежуток времени равна массе отделившихся частиц. В этом случае 12m1´> = 12m2´>, M =const и обобщенное уравнение Мещерского примет одну из следующих форм:

Реактивные силы при этом определяются выражениями

Некоторые классические задачи динамики точки переменной массы

Задача Кейли (о движении опускающейся тяжелой цепи)[2]

Пусть с горизонтальной подставки опускается вниз тяжелаяцепь, элементы которой непрерывно присоединяются к движущейся части цепи. Оставшаяся часть цепи находится в состояниипокоя у края подставки. Предполагая, что цепь движется по вертикальной прямой, исследовать процесс падения цепи с подставки, пренебрегая силами сопротивления.

Обозначим через γ вес единицы длины цепи. Тогдаm = γx/g, v = 12x´>и уравнение (6) будет иметь вид

Так как 12dfdt´> = 12dfdxdxdt´> = 12xdfdx´>,то уравнение (7) можно представить следующим образом:

Умножив уравнение (8) на х, запишем полученное уравнение в виде

Начальные условия выбираем следующие:

Из формул (9) и (10) находим С= 0.Получим

Продифференцировав (11) по t, найдем

Интегрируя уравнение (12) с начальными условиями (10) окончательно получаем

Решение (13) не является единственным: начальным условиям (10) и дифференциальному уравнению (7) можно удовлетворить, полагая x ≡ 0. Если считать, что в момент t= 0 точка А не имеет ускорения (см. рис. 1), то цепь будет оставаться в покое; если же точка А имеет ускорение (с подставки свешивается бесконечно малый элемент цепи), то цепь придет в движение.

Первая задача Циолковского (о движении ракеты вне силового поля)[2,4]

Пусть точка движется в безвоздушном пространстве вне силового поля, причем имеет место лишь один процесс отделения частиц. Движение такой точки моделирует движение ракеты вкосмическом пространстве, если пренебречь внутренним движением частиц, силами сопротивления космической среды, гравитационным притяжением, силами светового давления и т. п.

Тогда 12F´> = 0 и из частного случая уравнения Мещерского, в котором имеет место лишь процесс отделения масс, получим векторное уравнение движения ракеты

где относительная скорость отделения продуктов сгорания топлива.

Полагая, что постоянна по величине и направлена противоположно скорости 12v´> ракеты, найдем скорость и закон движения ракеты.

Направим ось Ох вдоль вектора скорости ракеты (рис. 2). В проекции на ось Ох уравнение (14) с учетом, что

Разделяя в (15) переменные и интегрируя, находим где 12v0´>- начальная скорость ракеты; 12M0´>- масса ракеты в начальный момент времени.

Так как масса корпуса ракеты со всем оборудованием и полезным грузом; 12MС‚´>- масса топлива в начальный момент времени, из формулы (16) легко найти предельную скорость, которую получит ракета, когда будет израсходовано все топливо:

Путь, пройденный ракетой на активном участке траектории (соответствующий этапу сгорания топлива), зависит от закона сгорания топлива.Полагая приt = 0 x = 0, из уравнения (16) получаем

В теоретических работах по ракетодинамике обычно рассматривают два закона изменения массы: экспоненциальный

где β = const, и линейный

где = const ˃ 0; α = const ˃ 0.

Из формул (21.25), (21.26) найдем время Т сгорания топлива.

Для экспоненциального закона имеем

Интегрируя (18) при экспоненциальном законе изменения массы (19), получаем закон движения ракеты

Если же сгорание топлива происходит по линейному закону то, согласно (18) и (20),

Отметим, что при линейном законе изменения массы (20) ее расход

При экспоненциальном законе изменения массы (19) расход массы и реактивная сила переменны (изменяются по экспоненте), но ускорение, вызванное действием на ракету одной лишь реактивной силы, постоянно, т. е.

gerb 50

В рамках реализации «Государственной молодежной политики Российской Федерации на период до 2025 года» и направления «Вовлечение молодежи в инновационную деятельность и научно-техническое творчество» коллективами преподавателей различных вузов России в 2009 году было предложено совместное проведение электронной научной конференции «Международный студенческий научный форум».

Источник

Движение тела с переменной массой

Для начала сформулируем, что такое переменная масса.

Переменная масса – это масса тела, которая может меняться при медленных движениях из-за частичных приобретений или потерь составляющего вещества.

Уравнение движения материальной точки с переменной массой

Чтобы записать уравнение движения для тела с такой массой, возьмем для примера движение ракеты. В основе ее перемещений лежит очень простой принцип: она движется за счет выброса вещества с большой скоростью, а также сильного воздействия, оказываемого на это вещество. В свою очередь выбрасываемые газы также оказывают воздействие на ракету, придавая ей ускорение в противоположном направлении. Кроме того, ракета находится под действием внешних сил, таких, как гравитация Солнца и других планет, земная тяжесть, сопротивление среды, в которой она совершает движение.

image001

В итоге мы можем записать следующее:

Теперь разделим его на d t и получим:

Уравнение Мещерского

Форма полученного уравнения точно такая же, как у уравнения, выражающего второй закон Ньютона. Но, если там мы имеем дело с постоянной массой тела, то здесь из-за потери вещества она постепенно меняется. К тому же помимо внешней силы нужно учитывать так называемую реактивную силу. В примере с ракетой это будет сила выходящей из нее газовой струи.

Уравнение m d v d t = v о т н d m d t + F впервые вывел русский механик И.В. Мещерский, поэтому оно получило его имя. Также его называют уравнением движения тела с переменной массой.

Формула Циолковского

Тогда равенство примет вид:

Газовая струя может выходить во время полета с переменной скоростью. Проще всего, разумеется, принять ее в качестве константы. Такой случай наиболее важен для нас, поскольку так уравнение решить намного проще.

Тогда мы получим соотношения следующего вида:

Это соотношение и является формулой Циолковского.

Она предназначена для расчета запаса топлива, с помощью которого ракета может набрать необходимую скорость. При этом время сгорания топлива не обусловливает величину максимальной скорости ракеты. Чтобы разогнаться до предела, нужно увеличить скорость истечения газов. Для достижения первой космической скорости следует изменить конструкцию ракеты. Она должна быть многоступенчатой, поскольку необходимо меньшее соотношение между требуемой массой топлива и массой ракеты.

Разберем несколько примеров применения данных построений на практике.

Решение

Значит, уравнение движения будет выглядеть так:

Решение

fiz167

Начнем с записи уравнения Мещерского. Оно будет иметь следующий вид:

Теперь решим полученное уравнение с учетом первоначальных условий:

Добавим заданные значения и найдем ответ:

Источник

Формулы динамики тела переменной массы

Движение точки переменной массы. Дифференциальное уравнение движения.

34 1

34 2

34 3

34 4

Введение в динамику тел переменной массы.

21.1 Основные понятия и допущения.

Примеров движущихся тел, масса которых заметно изменяется в процессе движения, множество как в различных областях производства (вращающееся веретено, на которое навивается нить; рулон газетной бумаги, разматывающийся на валу печатной машины и т. п.), так и в природе (изменение массы ядра кометы, возрастание массы Земли вследствие падения на ее поверхность метеоритов, таяние плавающей льдины и др.).

Следует отметить, что в теоретической механике переменность массы понимается не в смысле ее возникновения или исчезновения, а в смысле присоединения или отделения либо совместного присоединения и отделения частиц. Предметом дальнейшего рассмотрения будет система частиц с постоянными массами, состав которой изменяется: некоторое количество частиц покидает рассматриваемую систему, новые частицы к ней присоединяются.

Хотя изменение массы мы наблюдаем лишь в случае тел конечных размеров, тем не менее, в динамике тел с переменной массой (переменным составом), введение понятия материальной точки переменной массы (ТПМ) упрощает и облегчает изложение материала. ТПМ можно определить как множество частиц (с постоянной массой), которые в момент времени t находятся внутри области, ограниченной некоторой контрольной поверхностью, причем предполагается, что эта область движется поступательно(вместе с некоторой своей геометрической точкой). Переходом к пределу при стремлении к нулю объема области, ограниченной контрольной поверхностью, придем к понятию, аналогичному понятию материальной точки постоянной массы. Таким образом, ТПМ — это геометрическая точка с некоторой конечной массой, изменяющейся в процессе движения.

Основное уравнение движения ТПМ было получено И. В. Мещерским в 1897 г. в его магистерской диссертации. В 1898 г. результаты диссертации были им обобщены на случай одновременного присоединения и отделения частиц. Обобщенное уравнение Мещерского является основным в разделе «Динамика тел переменной массы», составляющем теоретическую базу ракетодинамики.

Принципиальным допущением, позволяющим получить дифференциальное уравнение движения ТПМ, является гипотеза близкодействия (контактного взаимодействия), согласно которой частицы изменяют количество движения ТПМ только в момент их непосредственного контакта. Как только отделяющаяся частица получает относительную скорость по отношению к ТПМ, ее воздействие на точку прекращается. Присоединяющаяся частица до момента контакта с ТПМ не взаимодействует. Ввиду того, что скорости присоединяющихся или отделяющихся частиц в момент контакта, вообще говоря, отличаются от скорости ТПМ, она будет испытывать удары со стороны этих частиц. Для случая непрерывного изменения массы точки воздействие таких ударов на нее аналогично действию некоторых дополнительных сил, называемых реактивными.

Источник

Основы динамики (формулы)

Второй закон Ньютона формулируется следующим образом:

Ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей всех сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально его массе.

581872561a70c38bbba1.19351985

959792561a712f76cc71.37343912

Третий закон Ньютона гласит:

Взаимодействия двух тел друг на друга равны между собой и направлены в противоположные стороны.

Из этого закона следует, что если на какое-то тело действует сила, то обязательно существует другое тело, на которое первое действует с такой же по абсолютному значению силой, но направленной в противоположную сторону, т. е. силы взаимодействия двух тел всегда равны друг другу.

200278561a7157849450.46155687

01648561a71bcbbd633.44802360

Для находящегося вблизи поверхности Земли тела сила тяжести равна:

4209445571cbc8364f43.74435218

Сравнение масс тел:

226906561a720ab6beb5.21719566

022711561a72c7bc9726.41228504

G – гравитационная постоянная.

Вес тела в ускоренно движущемся лифте:

20013561a72f30ca219.12038230

Закон Гука является основным законом теории упругости, который гласит: сила упругости, возникающая при упругой деформации тела (растяжении или сжатии пружины) пропорциональна удлинению тела (пружины) и направлена в сторону, противоположную направлению перемещений частиц тела при деформации.

Если обозначить удлинение тела через x, а силу упругости через Fупр, то закон Гука можно представить в виде формулы:

919408561a7314461cd9.18367922

Трение скольжения. приложим к телу силу, превышающую максимальную силу трения покоя – тело сдвинется с места и начнет двигаться. Трение покоя сменится трением скольжения.

Сила трения скольжения также пропорциональна силе нормального давления и силе реакции опоры:

Источник

Комфорт
Adblock
detector