Формулами для четного второго коэффициента

Формулами для четного второго коэффициента

Для уравнений вида 2fe1b0545b5b18bf5953a512c40e843f, то есть при чётном 92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f, где 46a687d02df88391a2065ce79dd6bb11
вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

4399ee26f20a68a6844698b9366071fb

Действительно, подставим в вышеприведённую универсальную формулу (1) корней уравнения указанное соотношение:

1117304eb5c87469fc77f7e0fa5bdfe1 394723c445aa0d3fb1fc2ecbcc9847b2 9fa5c25fd48e5f756bdf30b573c25e84

Для приведённого квадратного уравнения эта формула принимает вид:

6ad04b500a9f6ae1fd286fd94157afe6.

Также при чётном 92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578fудобнее вычислять значение не целого дискриминанта, а его четверти:

16ca4197ac700aa1054b6e93d6878126

или, если уравнение приведённое:

b93717635a2374695b8efc38ed5a92e9.

Все необходимые свойства при этом сохраняются:

0 \Rightarrow D>0″ src=»http://upload.wikimedia.org/math/6/8/e/68eda98d8feacc2fbb9ee7adae1dc95b.png»/>

(вместо знака «больше» в выражение может быть подставлены и другие знаки: «меньше» или «равно»). Подобным преобразованиям можно подвергнуть формулу для нахождения единственного корня при 23ded4c3f6dae981aea9b1ad7949f3e3:

b169f75412352af2d01c99733bc702d4.

Обратите внимание, что для приведённого уравнения можно упростить расчёт следующим образом:

288639b92b48ed9bd13cb6ae560f1f6f.

Отсюда следует важное и полезное правило: корнем приведённого уравнения с чётным вторым коэффициентом и равным нулю дискриминантом является половина второго коэффициента.

Эти выражения является более удобным для практических вычислений при чётном 92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.

Источник

Формулами для четного второго коэффициента

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

В этом уроке выведем формулы для решения квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом и научимся решать такие квадратные уравнения, используя эти формулы.

Квадратным уравнением называют уравнение вида ax2 + bx +c=0, где a называют первым или старшим коэффициентом, b – вторым коэффициентом или коэффициентом при х, с – свободным членом, х – переменная, причём a ≠ 0.

Чтобы решить квадратное уравнение, необходимо найти дискриминант D по формуле

image001

Если в квадратном уравнении коэффициент b- четное число, то это уравнение можно представить в виде ax2 + 2kx + c=0, где b=2k, k – целое число.

Выведем формулы для решения квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом. Для этого в основную формулу для решения квадратного уравнения вместо второго коэффициента b подставим 2k.

D = b2 – 4ac = (2k)2 – 4ac = 4k2 – 4ac.

Вынесем за скобки 4 и получим D = 4(k2 – ac).

Обозначим выражение в скобках за D1. Тогда D1 = k2 – ac, а D = 4D1.

Видно, что число корней уравнения зависит от D1. Если D1 больше нуля, то уравнение имеет два корня.

image002

image003

image004

image005

Разделим числитель и знаменатель на 2. После всех преобразований формула примет вид

image006

Корни х1 и х2 зависят только от знака квадратного корня в числителе, поэтому

image007

А если дискриминант D1 равен нулю? Уравнение будет иметь один корень.

image008

Вместо коэффициента b подставим 2k.

image009

image010

Рассмотрим решение квадратного уравнения 5х2 –16 х + 3 = 0 как по основной формуле, так и по формуле с четным вторым коэффициентом. А затем сделаем некоторые выводы.

Итак, сначала выпишем коэффициенты a = 5, b= –16, с = 3.

Найдем дискриминант D по формуле D = b2 – 4ac.

Подставив в неё значения коэффициентов, получим D= (–16)2 – 4 ∙ 5 ∙ 3 = 196,дискриминант больше нуля D>0, значит, уравнение имеет два корня, используя соответствующие формулы, вычисляем:

image011

image012

Так как коэффициент b= –16 четное число, то можно решить это уравнение по формулам решения квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом.

В нашем уравнении 5х2 –16х + 3 = 0, k = –16:2= –8.

Найдем дискриминант D1.

D1 = k2 –ac= (–8)2 – 5 ∙ 3 = 49, он больше нуля D1 >0, уравнение имеет два корня, которые находим по соответствующим формулам:

image013

image014

Заметим, что корни получились одинаковые х1 = 0,2; х2 = 3.

Однако есть преимущества в использовании формул решения квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом.

Во-первых, при нахождении дискриминанта в квадрат возводится не число b, не второй коэффициент, а его половина и вычитается из этого квадрата не 4ac, а просто ac

Во-вторых, при нахождении корней в знаменателе не 2a, а просто a.

В-третьих, дискриминант, находимый по формуле с четным вторым коэффициентом, то есть D1, в 4 раза меньше дискриминанта D.

Если квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом b=2k и с коэффициентом a= 1, т.е. является приведенным x2 + 2kx +c=0, то решить уравнение можно ещё проще. Находим дискриминант по формуле D1 = k2 – c.

Если он больше нуля D1 >0, то корни находим по формулам:

image015

Если дискриминант равен нулю D1=0, то будет один корень х = –k.

Рассмотрим решение квадратного уравнения х2 +10 х–5600 = 0 как по основной формуле, так и по формуле решения квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом, являющееся приведенным.

Выпишем коэффициенты a = 1, b= 10, с = – 5600.

Найдем дискриминант D по формуле D = b2 – 4ac.

D = (10)2 – 4 ∙ 1 ∙ (–5600) = 22500, D > 0, дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня, используя соответствующие формулы, получим значения корней:

image016

image017

Так как коэффициент b = 10 четное число, то можно решить это уравнение по формуле решения квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом. Заметим, что в уравнении коэффициент a=1.

Уравнение является приведенным.

Найдем дискриминант D1.

image018

image019

image020

Если квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 с четным вторым коэффициентом, то есть второй коэффициент можно представить в виде b = 2k, k – целое число, то уравнение лучше решить по соответствующим формулам. При решении поступают следующим образом:

2.Сравнивают дискриминант D1 с нулём.

3.Если дискриминант больше нуля, то уравнение ax2 + 2kx +c=0 имеет два корня

image021

image022

Если дискриминант меньше нуля, корней нет.

4.Если квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 с четным вторым коэффициентом и является приведенным x2 + 2kx + c = 0, коэффициенты a= 1, b = 2k, k – целое число, то уравнение решают следующим образом:

1)Находят дискриминант D1 по формуле D1 = k2 – c.

2)Сравнивают дискриминант D1 с нулём.

3)Если дискриминант больше нуля, то уравнение x2 + 2kx +c=0 имеет два корня

Источник

Антимагия. Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом.

В прошлой статье из серии Антимагия мы показали, как решаются квадратные уравнения в общем виде. Там мы рассмотрели, что такое дискриминант, откуда он появляется и зачем он нужен.

Однако, помимо общей формулы для решения квадратных уравнений есть и частные случаи, для которых есть свои более удобные способы решения. В первую очередь это касается квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом.

Например, решим такое уравнение:

FrO p6hy0no

Используем уже знакомый нам алгоритм и постараемся выделить слева полный квадрат:

p88rHS5jgqg

YCtAJbdA55o

LtL3jNkJpfI

CGN9hOTtwyk

Обратите внимание, как легко удалось это сделать. За счёт того, что второй коэффициент был чётным, мы сразу выделили множитель 2, который отвечает за удвоение в формуле квадрата двучлена. То есть одночлен с x стал равен 2⋅3⋅x, откуда становится очевидным, что второе слагаемое в двучлене равно 3.

Теперь проведём наши рассуждения для более общего случая. Пусть у нас второй коэффициент в квадратном уравнении — чётный. Тогда удобно записать наше уравнение в виде:

N5tLIHSt1iA

Решим это уравнение также через выделение полного квадрата:

DdRUbWjBXAU

FTFvQfSAOrw

Однако, пока мы рассмотрели лишь приведённое квадратное уравнение (то есть такое, в котором коэффициент при x равен 1). Для неприведённого уравнения алгоритм такой же, только сначала нам нужно будет разделить его на первый коэффициент. После этого повторим алгоритм поиска корней для полученного уравнения.

mEUon9hv3TE

fMr 2mo1t5g

kvGzalOuJds

OTHm22F6ItY

a2YssXof9n4

EAp1DyE99yY

MvAuSBnTNg0

zyQOGoBV9s

Квадратный корень удобно упростить:

AfHZ5TNJZ2w

В итоге получаем следующие корни:

JZryh3jFIac

И окончательный результат для корней:

ZCF5aWlEdao

Есть и другой способ получить ту же самую формулу.

Для уравнения ax²+bx+c=0 мы уже знаем формулы корней

UvsfAAFYgOc

Возьмём теперь уравнение ax²+2kx+c=0 и используем для его решения общую формулу корней.

4nwy1G6RL0U

Далее, на примере первого корня, упростим получившиеся дроби:

LOUFhmt6Kbs

LR NZybfNDo

0wiXIRCiRmk

K MXRGEsy8g

Для второго корня результат аналогичен:

6TwUUXo7i9Q

Выражение k²—ac называется сокращённым дискриминантом или коротко «дэ на четыре» (т.к. оно в 4 раза меньше обычного дискриминанта).

Сокращённый дискриминант старшеклассники используют не часто. Обычно запоминают формулу для простого дискриминанта и не видят необходимости в поиске корней через сокращённый дискриминант. Или же используют более продвинутые способы решения.

Однако, во многих случаях он может быть полезен.

Например, решим такое уравнение через обычный дискриминант:

lmu7j2L4Bkw

Сразу намечаются некоторые вычислительные сложности.

Нужно посчитать 38² (это обычно делается столбиком), потом 4⋅9⋅8 (можно в уме, но на практике чаще тоже считают столбиком), потом вычесть результаты (1444—288, тоже столбиком).

Получается дискриминант равен 1156. Но ведь из него ещё нужно правильно извлечь корень! Мало кто помнит квадрат какого числа равен 1156. Приходится дополнительно находить этот корень подбором по соответствующему алгоритму. Получим, что дискриминант равен 34².

Далее находим сами корни:

q s jqLsuuY

vbv3n A8p2c

С сокращённым же дискриминантом вычисления будут гораздо проще:

8S9MIzpAHrs

19² легко посчитать, т.к. квадраты чисел до 20 часто знают наизусть. Вычитание можно выполнить в уме. А что 289 = 17² мы получаем снова благодаря знанию таблицы квадратов.

И сами корни легко ищутся по формулам:

3WgB8k 8skI

qHIG5hYLSKQ

Ещё отметим, что при расчёте через дискриминант с чётным вторым коэффициентом вам всегда нужно будет сокращать дроби на 2. Это лишнее действие, которое при сокращённом дискриминанте отсутствует.

Конечно, чтобы овладеть этим инструментом нужна практика. Обычно ученики ленятся запоминать эту формулу и просто пытаются всё посчитать через обычный дискриминант. Также поначалу они забывают, что в знаменателе уже нет умножения на 2 или что первое слагаемое в числителе не число b, а k (то есть его половина, b/2). В таком случае важно несмотря на ошибки всё равно пробовать решать через сокращённый дискриминант, даже если не удаётся запомнить формулу с первого раза.

Источник

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Примеры

Число −14 можно представить как 2 × (−7)

Найдем дискриминант по формуле D1 = k 2 − ac

Теперь вычислим корни по формулам: kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 1и kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 2.

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 3

И в отличие от формул formula dlya vychisleniya pervogo kornya kvadratnogo uravneniyaи formula dlya vychisleniya vtorogo kornya kvadratnogo uravneniyaформулы kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 1и kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 2не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x 2 − 6x + 1=0

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 1и kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 2

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 11

Пример 3. Решить квадратное уравнение x 2 − 10x − 24 = 0

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 1и kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 2

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 12

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 14

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 15

Пример 5. Решить квадратное уравнение kvadratnoe uravnenie s chyotnym vtorym koeffitsientom risunok 16

Найдём дискриминант по формуле D1 = k 2 − ac

kvadratnoe uravnenie s chyotnym vtorym koeffitsientom risunok 17

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 1и kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 2

kvadratnoe uravnenie s chyotnym vtorym koeffitsientom risunok 18

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен kvadratnoe uravnenie s chyotnym vtorym koeffitsientom risunok 19.

Вычислим второй корень уравнения:

kvadratnoe uravnenie s chyotnym vtorym koeffitsientom risunok 20

Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Заменим в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b на выражение 2k

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

То есть выражение k 2 − ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D1

Теперь посмотрим как выводятся формулы kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 1и kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 2.

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 5

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 6

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 7

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 8

Сократим получившуюся дробь на 2

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 9

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

Источник

Комфорт
Adblock
detector