Формула ясинского коэффициенты a и b

Научная электронная библиотека

file 56c4608115666

Лекция 13. ФОРМУЛА ЯСИНСКОГО

Границы применимости решения Эйлера. Формула Ясинского.

Как показали опыты, решение Эйлера подтверждается не во всех случаях. Причина состоит в том, что формула Эйлера была получена в предположении, что при любой нагрузке стержень работает в пределах упругих деформаций по закону Гука. Следовательно, его нельзя применять в тех ситуациях, когда напряжения превосходят предел пропорциональности. В связи с этим найдем границы применимости решения Эйлера:

5094(30)

Из (30) следует, что напряжение 5101возрастает по мере уменьшения гибкости стержня. Заметим, что стержень, имеющий неодинаковые опорные закрепления в главных плоскостях и, следовательно, неодинаковые приведенные длины, теряет устойчивость в той главной плоскости, в которой гибкость стержня имеет наибольшее значение.

Формула Эйлера неприемлема, если напряжения

5108,

где 5116– предел пропорциональности. Приравнивая (30) к пределу пропорциональности, получим предельное значение гибкости:

5125

В ситуациях, когда напряжения превышают предел пропорциональности, получение теоретического решения осложняется, т.к. зависимость между напряжениями и деформациями становится нелинейной. В связи с этим, в таких случаях пользуются эмпирическими зависимостями. В частности, Ф.С. Ясинский предложил следующую формулу для критических по устойчивости напряжений:

где a, b – постоянные, зависящие от материала, так для стали Ст. 3 a = 3,1•10 5 кН/м2, b = 11,4•10 2 кН/м2.

При гибкостях стержня, находящихся в диапазоне 0

Источник

Формулы Эйлера и Ясинского — и их применение

1 667 2 712 3 489 4 294 image 10 1

1 1

Пределы применимости формулы эйлера. формула ясинского

Эйлера не была подтверждена экспериментами. Это объясняется тем, что формула Эйлера выведена в предположении, что стержень работает в упругой деформации с использованием закона крюка при любом значении P. Поэтому естественно,

что его нельзя использовать, когда критическое напряжение больше предела Людмила Фирмаль

пропорциональности. Для установления пределов применимости формулы Эйлера находим °С¡

графиком критических напряжений. Использование формулы Эйлера и яценского позволяет решить проблему устойчивости компрессионного стержня во всем диапазоне результирующей гибкости в строительной практике. Для чистых экспериментальных результатов, когда 469 стержней работают в упругопластической области, существует теоретическое исследование, в котором предлагается уравнение, аналогичное уравнению Эйлера для критической силы. В ходе такого исследования, прежде всего,

необходимо включить исследование Ясинского, где предлагается применить формулу Эйлера для упругопластической области, но так называемых уравнений Эйлера нет., №. (15.10)) Рис 396D 6S- / 3=1DA Идея использования уменьшенного модуля Эг заключается в том, что первоначально сжатый стержень последующего изгиба может быть использован в различных упругих модулях при растяжении и сжатии. Представим себе, что стержень сжат до центра, напряжение превышает предел упругости, а сила, действующая на стержень, близка к критической. Когда она достигает критического значения,

стержень начинает изгибаться. Из-за крутящего момента на одной части поперечного сечения возникает дополнительное сжимающее напряжение, а на другой-дополнительное напряжение. Поэтому в этой части поперечного сечения происходит разгрузка. Как известно, модуль упругости при разгрузке материала совпадает с модулем нормального модуля упругости, модуль упругости дополнительно нагружает материал, угол наклона касательной к графику сжатия (положительный 396). Так, если стержень уплотняется в центре с напряжением, превышающим предел упругости, то азатем начнет изгибаться, а затем сгибаться и применять различные упругие модули для растяжения и сжатия. Проблема изгиба таких стержней

была решена в главе 73. Из него можно взять выражение уменьшения модуля упругости. Например, для бруска с прямоугольным поперечным сечением его модуль упругости понижен или, как его иначе называют, коэффициент Ясинского определяется по следующей формуле: Ми= 4E1E х (Y B+] / K) 2′ Модуль упругости при разгрузке равен начальному модулю (например, сталь е <- е-2,1•106 кг / см2) — это модуль упругости, взятый для соответствующего осевого напряжения. Его часто называют касательным модулем, так как он равен касательной наклона касательной к кривой сжатия. Формула Ясинского (15.10) очень хорошо совпадает с результатами, полученными экспериментально.

1 1

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Формулы Эйлера и Ясинского

Иркутский государственный университет путей сообщения

Лабораторная работа № 16

по дисциплине«Сопротивление материалов»

ОПЫТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СИЛ

ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ИЗГИБЕ

Кафедра ПМ

Лабораторная работа № 16

Опытное определение критических сил при продольном изгибе

Цель работы:исследование явления потери устойчивости сжатого стального стержня в упругой

стадии. Экспериментальное определение значений критических нагрузок сжатых

стержней при различных способах закрепления и сравнение их с теоретическими

Общие положения

Сжатые стержни недостаточно проверять на прочность по известному условию:

image002,

где [σ] – допускаемое напряжение для материала стержня, P – сжимающая сила, F – площадь поперечного сечения.

В практической деятельности инженеры имеют дело с подвергающимися сжатию гибкими стержнями, тонкими сжатыми пластинами, тонкостенными конструкциями, выход из строя которых вызывается ен потерей несущей способности, а потерей устойчивости.

Под потерей устойчивости понимается потеря первоначальной формы равновесия.

В сопротивлении материалов рассматривается устойчивость элементов конструкций, работа­ющих на сжатие.

Рассмотрим длинный тонкий стержень (рис. 1), нагруженный осевой сжимающей силой P.

image004

Рис. 1. Стержень, нагруженный осевой сжимающей силой P.

При малых значениях силы F стер­жень сжимается, оставаясь прямолинейным. Причем, если стержень отклонить от этого положения небольшой поперечной нагрузкой, то он изогнется, но при снятии ее стержень возвращается в прямолинейное состояние. Это значит, что при данной силе Pпрямолинейная форма равновесия стержня устойчива.

Если продолжить увеличивать сжимающую силу P, то при неко­тором ее значении прямолинейная форма равновесия становит­ся неустойчивой и возникает новая форма равновесия стержня — криволинейная (рис. 1, б). Вследствие изгиба стержня в его сече­ниях появится изгибающий момент, который вызовет дополнитель­ные напряжения, и стержень может внезапно разрушиться.

Искривление длинного стержня, сжимаемого продольной силой, называется продольным изгибом.

Наибольшее значение сжимающей силы, при котором прямоли­нейная форма равновесия стержня устойчива, называется критичес­ким Pкр.

При достижении критической нагрузки происходит резкое каче­ственное изменение первоначальной формы равновесия, что ведет к выходу конструкции из строя. Поэтому критическая сила рассмат­ривается как разрушающая нагрузка.

Формулы Эйлера и Ясинского

Задачу определения критической силы сжатого стержня впер­вые решил член Петербургской академии наук Л. Эйлер в 1744 г. Формула Эйлера имеет вид

image006(1)

где Е модуль упругости материала стержня; Jmin — наименьший момент инерции поперечного сечения стержня (поскольку искривление стержня при потере устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, т. е. поперечные сечения стержня повора­чиваются вокруг оси, относительно которой момент инерции ми­нимален, т.е. либо вокруг оси x, либо вокруг оси y);

(μ·l) – приведенная длина стержня, это произведение длины стержня l на коэффициент μ, зависящий от способов закреп­ления концов стержня.

Коэффициент μ называют коэффициентом приведения длины;его значение для наиболее часто встречающихся случаев закрепления концов стержня приведены на рис. 2:

а— оба конца стержня закреплены шарнирно и могут сближаться;

б— один конец жестко защемлен, другой свободен;

в— один конец закреплен шарнирно, второй имеет «поперечно-плавающую заделку»;

г один конец жестко защемлен, второй имеет «поперечно-плавающую заделку»;

д— один конец заделан жестко, на другом шарнирно-подвижная опора;

е— оба конца жестко защемлены, но могут сближаться.

Из этих примеров видно, что коэффициент μпредставляет со­бой величину, обратную числу полуволн упругой линии стержня при потере устойчивости.

image008

Рис. 2. Коэффициент μ для наиболее часто

встречающихся случаев закрепления концов стержня.

Нормальное напряжение в поперечном сечении сжатого стержня, соответствующее критическому значению сжимающей силы, также называется критическим.

Определим его исходя из формулы Эйлера:

image010(2)

Геометрическую характеристику сечения imin, определяемую по формуле

image012, (3)

называют радиусом инерции сечения(относительно оси с Jmin). Для прямоугольного сечения

image014

С учетом (3) формула (2) примет вид:

image016(4)

Отношение приведенной длины стержня к минимальному ра­диусу инерции его поперечного сечения по предложению профес­сора Санкт-Петербургского института инженеров путей сообще­ния Ф.С. Ясинского (1856—1899) называют гибкостью стержняи обозначают буквой λ:

image018(5)

В этой безразмерной величине одновременно отражаются такие параметры: длина стержня, способ его закрепления и характеристи­ка поперечного сечения.

Окончательно, подставив (5) в формулу (4), получим

image020(6)

При выводе формулы Эйлера предполагалось, что материал стер­жня упруг и следует закону Гука. Следовательно, формулу Эйлера можно применять только при напряжениях, меньших предела про­порциональности σпц, т. е. когда

image022

Этим условием определяется предел применимости формулы Эйлера:

image024

Величину, стоящую в правой части этого неравенства, называют предельной гибкостью:

image026

ее значение зависит от физико-механических свойств материала стержня.

Для низкоуглеродистой стали Ст. 3, у которой σпц= 200 МПа, Е = 2·10 5 МПа:

image028

Аналогично можно вычислить значение предельной гибкости для других материалов: для чугуна λпред = 80, для сосны λпред = 110.

Таким образом, формула Эйлера применима для стержней, гиб­кость которых больше или равна предельной гибкости, т. е.

Понимать это надо так: если гибкость стержня больше предельной гибкости, то критическую силу надо определять по формуле Эйлера.

Источник

Коэффициенты для формулы ясинского сталь

Формулы Эйлера и Ясинского — и их применение

1 667 2 712 3 489 4 294image 10 1

lfirmal.

Пределы применимости формулы эйлера. формула ясинского

Эйлера не была подтверждена экспериментами. Это объясняется тем, что формула Эйлера выведена в предположении, что стержень работает в упругой деформации с использованием закона крюка при любом значении P. Поэтому естественно,

что его нельзя использовать, когда критическое напряжение больше предела Людмила Фирмаль

пропорциональности. Для установления пределов применимости формулы Эйлера находим °С¡

графиком критических напряжений. Использование формулы Эйлера и яценского позволяет решить проблему устойчивости компрессионного стержня во всем диапазоне результирующей гибкости в строительной практике. Для чистых экспериментальных результатов, когда 469 стержней работают в упругопластической области, существует теоретическое исследование, в котором предлагается уравнение, аналогичное уравнению Эйлера для критической силы. В ходе такого исследования, прежде всего,

необходимо включить исследование Ясинского, где предлагается применить формулу Эйлера для упругопластической области, но так называемых уравнений Эйлера нет., №. (15.10)) Рис 396D 6S- / 3=1DA Идея использования уменьшенного модуля Эг заключается в том, что первоначально сжатый стержень последующего изгиба может быть использован в различных упругих модулях при растяжении и сжатии. Представим себе, что стержень сжат до центра, напряжение превышает предел упругости, а сила, действующая на стержень, близка к критической. Когда она достигает критического значения,

стержень начинает изгибаться. Из-за крутящего момента на одной части поперечного сечения возникает дополнительное сжимающее напряжение, а на другой-дополнительное напряжение. Поэтому в этой части поперечного сечения происходит разгрузка. Как известно, модуль упругости при разгрузке материала совпадает с модулем нормального модуля упругости, модуль упругости дополнительно нагружает материал, угол наклона касательной к графику сжатия (положительный 396). Так, если стержень уплотняется в центре с напряжением, превышающим предел упругости, то азатем начнет изгибаться, а затем сгибаться и применять различные упругие модули для растяжения и сжатия. Проблема изгиба таких стержней

была решена в главе 73. Из него можно взять выражение уменьшения модуля упругости. Например, для бруска с прямоугольным поперечным сечением его модуль упругости понижен или, как его иначе называют, коэффициент Ясинского определяется по следующей формуле: Ми= 4E1E х (Y B+] / K) 2′ Модуль упругости при разгрузке равен начальному модулю (например, сталь е Источник

Научная электронная библиотека

file 56c4608115666

Лекция 13. ФОРМУЛА ЯСИНСКОГО

Границы применимости решения Эйлера. Формула Ясинского.

Как показали опыты, решение Эйлера подтверждается не во всех случаях. Причина состоит в том, что формула Эйлера была получена в предположении, что при любой нагрузке стержень работает в пределах упругих деформаций по закону Гука. Следовательно, его нельзя применять в тех ситуациях, когда напряжения превосходят предел пропорциональности. В связи с этим найдем границы применимости решения Эйлера:

5094(30)

Из (30) следует, что напряжение 5101возрастает по мере уменьшения гибкости стержня. Заметим, что стержень, имеющий неодинаковые опорные закрепления в главных плоскостях и, следовательно, неодинаковые приведенные длины, теряет устойчивость в той главной плоскости, в которой гибкость стержня имеет наибольшее значение.

Формула Эйлера неприемлема, если напряжения

5108,

где 5116– предел пропорциональности. Приравнивая (30) к пределу пропорциональности, получим предельное значение гибкости:

5125

В ситуациях, когда напряжения превышают предел пропорциональности, получение теоретического решения осложняется, т.к. зависимость между напряжениями и деформациями становится нелинейной. В связи с этим, в таких случаях пользуются эмпирическими зависимостями. В частности, Ф.С. Ясинский предложил следующую формулу для критических по устойчивости напряжений:

где a, b – постоянные, зависящие от материала, так для стали Ст. 3 a = 3,1•10 5 кН/м2, b = 11,4•10 2 кН/м2.

При гибкостях стержня, находящихся в диапазоне 0

Формулы Эйлера и Ясинского

Иркутский государственный университет путей сообщения

Лабораторная работа № 16

по дисциплине«Сопротивление материалов»

ОПЫТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СИЛ

ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ИЗГИБЕ

Лабораторная работа № 16

Опытное определение критических сил при продольном изгибе

Цель работы:исследование явления потери устойчивости сжатого стального стержня в упругой

стадии. Экспериментальное определение значений критических нагрузок сжатых

стержней при различных способах закрепления и сравнение их с теоретическими

Общие положения

Сжатые стержни недостаточно проверять на прочность по известному условию:

image002,

где [σ] – допускаемое напряжение для материала стержня, P – сжимающая сила, F – площадь поперечного сечения.

В практической деятельности инженеры имеют дело с подвергающимися сжатию гибкими стержнями, тонкими сжатыми пластинами, тонкостенными конструкциями, выход из строя которых вызывается ен потерей несущей способности, а потерей устойчивости.

Под потерей устойчивости понимается потеря первоначальной формы равновесия.

В сопротивлении материалов рассматривается устойчивость элементов конструкций, работа­ющих на сжатие.

Рассмотрим длинный тонкий стержень (рис. 1), нагруженный осевой сжимающей силой P.

image004

Рис. 1. Стержень, нагруженный осевой сжимающей силой P.

При малых значениях силы F стер­жень сжимается, оставаясь прямолинейным. Причем, если стержень отклонить от этого положения небольшой поперечной нагрузкой, то он изогнется, но при снятии ее стержень возвращается в прямолинейное состояние. Это значит, что при данной силе Pпрямолинейная форма равновесия стержня устойчива.

Если продолжить увеличивать сжимающую силу P, то при неко­тором ее значении прямолинейная форма равновесия становит­ся неустойчивой и возникает новая форма равновесия стержня — криволинейная (рис. 1, б). Вследствие изгиба стержня в его сече­ниях появится изгибающий момент, который вызовет дополнитель­ные напряжения, и стержень может внезапно разрушиться.

Искривление длинного стержня, сжимаемого продольной силой, называется продольным изгибом.

Наибольшее значение сжимающей силы, при котором прямоли­нейная форма равновесия стержня устойчива, называется критичес­ким Pкр.

При достижении критической нагрузки происходит резкое каче­ственное изменение первоначальной формы равновесия, что ведет к выходу конструкции из строя. Поэтому критическая сила рассмат­ривается как разрушающая нагрузка.

Формулы Эйлера и Ясинского

Задачу определения критической силы сжатого стержня впер­вые решил член Петербургской академии наук Л. Эйлер в 1744 г. Формула Эйлера имеет вид

image006(1)

где Е модуль упругости материала стержня; Jmin — наименьший момент инерции поперечного сечения стержня (поскольку искривление стержня при потере устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, т. е. поперечные сечения стержня повора­чиваются вокруг оси, относительно которой момент инерции ми­нимален, т.е. либо вокруг оси x, либо вокруг оси y);

(μ·l) – приведенная длина стержня, это произведение длины стержня l на коэффициент μ, зависящий от способов закреп­ления концов стержня.

Коэффициент μ называют коэффициентом приведения длины;его значение для наиболее часто встречающихся случаев закрепления концов стержня приведены на рис. 2:

а— оба конца стержня закреплены шарнирно и могут сближаться;

б— один конец жестко защемлен, другой свободен;

в— один конец закреплен шарнирно, второй имеет «поперечно-плавающую заделку»;

г один конец жестко защемлен, второй имеет «поперечно-плавающую заделку»;

д— один конец заделан жестко, на другом шарнирно-подвижная опора;

е— оба конца жестко защемлены, но могут сближаться.

Из этих примеров видно, что коэффициент μпредставляет со­бой величину, обратную числу полуволн упругой линии стержня при потере устойчивости.

image008

Рис. 2. Коэффициент μ для наиболее часто

встречающихся случаев закрепления концов стержня.

Нормальное напряжение в поперечном сечении сжатого стержня, соответствующее критическому значению сжимающей силы, также называется критическим.

Определим его исходя из формулы Эйлера:

image010(2)

Геометрическую характеристику сечения imin, определяемую по формуле

image012, (3)

называют радиусом инерции сечения(относительно оси с Jmin). Для прямоугольного сечения

image014

С учетом (3) формула (2) примет вид:

image016(4)

Отношение приведенной длины стержня к минимальному ра­диусу инерции его поперечного сечения по предложению профес­сора Санкт-Петербургского института инженеров путей сообще­ния Ф.С. Ясинского (1856—1899) называют гибкостью стержняи обозначают буквой λ:

image018(5)

В этой безразмерной величине одновременно отражаются такие параметры: длина стержня, способ его закрепления и характеристи­ка поперечного сечения.

Окончательно, подставив (5) в формулу (4), получим

image020(6)

При выводе формулы Эйлера предполагалось, что материал стер­жня упруг и следует закону Гука. Следовательно, формулу Эйлера можно применять только при напряжениях, меньших предела про­порциональности σпц, т. е. когда

image022

Этим условием определяется предел применимости формулы Эйлера:

image024

Величину, стоящую в правой части этого неравенства, называют предельной гибкостью:

image026

ее значение зависит от физико-механических свойств материала стержня.

Для низкоуглеродистой стали Ст. 3, у которой σпц= 200 МПа, Е = 2·10 5 МПа:

image028

Аналогично можно вычислить значение предельной гибкости для других материалов: для чугуна λпред = 80, для сосны λпред = 110.

Таким образом, формула Эйлера применима для стержней, гиб­кость которых больше или равна предельной гибкости, т. е.

Понимать это надо так: если гибкость стержня больше предельной гибкости, то критическую силу надо определять по формуле Эйлера.

Источник

Комфорт
Adblock
detector