Формула дискриминанта для четного коэффициента

Формула дискриминанта для четного коэффициента

Для уравнений вида 2fe1b0545b5b18bf5953a512c40e843f, то есть при чётном 92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f, где 46a687d02df88391a2065ce79dd6bb11
вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

4399ee26f20a68a6844698b9366071fb

Действительно, подставим в вышеприведённую универсальную формулу (1) корней уравнения указанное соотношение:

1117304eb5c87469fc77f7e0fa5bdfe1 394723c445aa0d3fb1fc2ecbcc9847b2 9fa5c25fd48e5f756bdf30b573c25e84

Для приведённого квадратного уравнения эта формула принимает вид:

6ad04b500a9f6ae1fd286fd94157afe6.

Также при чётном 92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578fудобнее вычислять значение не целого дискриминанта, а его четверти:

16ca4197ac700aa1054b6e93d6878126

или, если уравнение приведённое:

b93717635a2374695b8efc38ed5a92e9.

Все необходимые свойства при этом сохраняются:

0 \Rightarrow D>0″ src=»http://upload.wikimedia.org/math/6/8/e/68eda98d8feacc2fbb9ee7adae1dc95b.png»/>

(вместо знака «больше» в выражение может быть подставлены и другие знаки: «меньше» или «равно»). Подобным преобразованиям можно подвергнуть формулу для нахождения единственного корня при 23ded4c3f6dae981aea9b1ad7949f3e3:

b169f75412352af2d01c99733bc702d4.

Обратите внимание, что для приведённого уравнения можно упростить расчёт следующим образом:

288639b92b48ed9bd13cb6ae560f1f6f.

Отсюда следует важное и полезное правило: корнем приведённого уравнения с чётным вторым коэффициентом и равным нулю дискриминантом является половина второго коэффициента.

Эти выражения является более удобным для практических вычислений при чётном 92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.

Источник

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Примеры

Число −14 можно представить как 2 × (−7)

Найдем дискриминант по формуле D1 = k 2 − ac

Теперь вычислим корни по формулам: kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 1и kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 2.

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 3

И в отличие от формул formula dlya vychisleniya pervogo kornya kvadratnogo uravneniyaи formula dlya vychisleniya vtorogo kornya kvadratnogo uravneniyaформулы kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 1и kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 2не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x 2 − 6x + 1=0

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 1и kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 2

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 11

Пример 3. Решить квадратное уравнение x 2 − 10x − 24 = 0

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 1и kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 2

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 12

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 14

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 15

Пример 5. Решить квадратное уравнение kvadratnoe uravnenie s chyotnym vtorym koeffitsientom risunok 16

Найдём дискриминант по формуле D1 = k 2 − ac

kvadratnoe uravnenie s chyotnym vtorym koeffitsientom risunok 17

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 1и kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 2

kvadratnoe uravnenie s chyotnym vtorym koeffitsientom risunok 18

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен kvadratnoe uravnenie s chyotnym vtorym koeffitsientom risunok 19.

Вычислим второй корень уравнения:

kvadratnoe uravnenie s chyotnym vtorym koeffitsientom risunok 20

Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Заменим в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b на выражение 2k

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

То есть выражение k 2 − ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D1

Теперь посмотрим как выводятся формулы kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 1и kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 2.

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 5

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 6

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 7

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 8

Сократим получившуюся дробь на 2

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 9

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

Источник

Вывод формулы корней полного квадратного уравнения. Решение приведенных квадратных уравнений и уравнений с четным вторым коэффициентом

Разделы: Математика

Устный счет:

а) img002; б) img004
2. Зависимость y(x) выражается формулой y = 13x + 1 выразить x(y)

3. Не решая уравнения, определить, равносильны ли они:

img006

4. Выделить полный квадрат: img008

Теорема. Квадратное уравнение не может иметь более двух различных корней.

Доказательство:

Предположим, что уравнение три различных корня: img012

Если уравнение имеет корень, то после подстановки его в уравнение получится верное числовое равенство:

img014(1)
img016(2)
img018(3)

из (2) отнимаем (1)
img014

img016
_____________________
img022
img024

В каком случае произведение равно 0?

Так как img026= > img028img0300 = > aimg032+ b = 0. (4)

img018

img016
_________________
img035
img037

img039= > aimg041+ b = 0 (5)

img043

img045
________________
img047
аimg0300 = > img050= > img052,
а по условию img012пришли к противоречию.

Давайте решим уравнение:

img054

Самостоятельно:

a) img056img058img060

Вместе:

б) img062

Нравится ли этот способ? Нет! Тогда будем рассуждать иначе:

img064

(формулу для нахождения корней квадратного уравнения учить проговаривать словами).

img066– дискриминант квадратного уравнения.

img068

Количество корней зависит от D.

1). D > 0 img070
2). D = 0 img072

Источник

Об отдельных случаях вычисления дискриминанта

Сложно встретить старшеклассника, НЕ умеющего находить корни квадратного уравнения через дискриминант.

155 1

Но, к сожалению, в отдельных случаях, получая громоздкий дискриминант, многие начинают паниковать (без калькулятора).

А на ЕГЭ по математике, например, в задачах №11, вам вполне может встретиться причудливый дискриминант.

Нет безвыходных ситуаций!

На чем можно сэкономить силы при вычислении дискриминанта

Прежде чем разбирать примеры, вспомним все же формулу дикриминанта quicklatex.com 314c01d667c3ef39f51009207d424ed6 l3для вычисления корней квадратного уравнения quicklatex.com 30eb7e70fc8eb65f01adeb42612df06e l3

quicklatex.com fd536b064eb45b91d533eca6d0728b8b l3

Тогда корни уравнения находим по формуле

quicklatex.com 96f8ac3dcfc4ab2c7e8c70b50fb387bf l3

Надеюсь, вы помните, что удобно искать корни уравнения через дискриминант в случае, если имеем дело с полным квадратным уравнением ( quicklatex.com 434513ac7bf05dd9e4ef7859a7c56ba5 l3и quicklatex.com 421cc28a94256a8bf9195ca25a6e18cd l3– ненулевые).

I. Используем формулу «разность квадратов» + показать

Допустим, нам нужно решить уравнение quicklatex.com 04e98b9964c46432b5f456baae5a14e7 l3

Ясно, что дискриминант следующий: quicklatex.com 5bf4e17412d406ef7cdfd455fb0d8de8 l3

Не спешим возводить 53 в квадрат! Замечаем, что quicklatex.com 714ec5e1491963435636fa2e66d2d29f l3, поэтому

quicklatex.com ad4b26c3bd8e2c8196f085c2387e0a8f l3

Корни данного уравнения, думаю, теперь каждый из вас найдет без труда…

II. Используем прием вынесения общего множителя за скобки + показать

Допустим, нам нужно решить уравнение quicklatex.com 7a850888a3303d7ef0a065aedaeb682a l3(кстати, оно взято из реальной текстовой задачи из открытого банка заданий ЕГЭ по математике).

Ясно, что дискриминант следующий: quicklatex.com 3eaceb9b0e3e26b36bb9d0266974bc12 l3

9

Нет, мы не пойдем напролом!

Замечаем, что quicklatex.com 8be60a6a480e821e4a0818d6ded97729 l3, а quicklatex.com 98c735668062db3b962885e78301f638 l3.

Мы можем вынести за скобку общий множитель quicklatex.com dcaa3fcfe412cc459878d250036ee5f0 l3

quicklatex.com c3d59e5a22c5f55fb9fcb41e7104d11c l3

Корни найти – уже не проблема…

III. Формула сокращенного дискриимнанта + показать

Допустим, нам нужно решить уравнение quicklatex.com 7e70c1a219066625aac785fb224583bc l3

Вы знаете, что такое quicklatex.com 7878008644dc9c5cc823063d41aaddb1 l3?

Показать скрытое содержимое

Его очень удобно применять в случае четности второго коэффициента (при quicklatex.com 1d408a76033f3b2b724c5693fb066bde l3).

Вот формулы дискриминанта и корней в этом случае:

для уравнения quicklatex.com 30eb7e70fc8eb65f01adeb42612df06e l3, где quicklatex.com 434513ac7bf05dd9e4ef7859a7c56ba5 l3– четное

quicklatex.com 248ae5701fdb0edf86919c255636f31a l3

quicklatex.com e8db02e64e94408bfee5227b1c73f835 l3

quicklatex.com 4303c7ec237e530ad265e6e1e05b8c3f l3

Тогда корни следующие: quicklatex.com 3994599e4367056598a83e328e5dce80 l3, то есть quicklatex.com 7f8e0b4770ce04231507f8cb13075185 l3или quicklatex.com 4e5d196e67f801e8acba9e39373edbc5 l3

Хоть на чуть-чуть, но упростили вычисления. Считаете, что неоправданно, – лишней формулой забивать голову… Выбор за вами.

IV. Вместо дискриминанта – т. Виета + показать

i 1

Допустим, нам нужно решить уравнение quicklatex.com e60c275e65345fedc95500ad0a9dbba1 l3

Вспоминаем теорему Виета:

Для приведенного квадратного уравнения (т.е. такого, коэффициент при quicklatex.com 2574147b2e9db62fc11e3f3814ab0358 l3в котором равен единице) quicklatex.com 68283638ae1096f4bf9689936ae4d6e5 l3сумма корней равна коэффициенту quicklatex.com a0bcd289db4d048268a216c6dfdf1184 l3, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену quicklatex.com 0e01cf58f0b528b95d7b59194dc500b2 l3, то есть quicklatex.com e3dd678be4cbaa28addacb8959080dfa l3, quicklatex.com 2dd57e2e3e21d89a589790c3e19e1d37 l3

Так вот, очевидно, на роль корней уравнения quicklatex.com 6e8d5d138d3771624932a782e749a901 l3претендуют числа quicklatex.com 9f2f003e92aee909668388eed1933d06 l3и quicklatex.com f5bf457eec2c337ed719f4678796d63e l3, так как quicklatex.com 3b458e34a7eb9bc97e7ffffdae93fd13 l3и quicklatex.com 28fdcf940541525afab3849896d680b1 l3

Источник

Комфорт
Adblock
detector