Формула четного коэффициента для квадратного уравнения

Формула четного коэффициента для квадратного уравнения

Для уравнений вида 2fe1b0545b5b18bf5953a512c40e843f, то есть при чётном 92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f, где 46a687d02df88391a2065ce79dd6bb11
вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

4399ee26f20a68a6844698b9366071fb

Действительно, подставим в вышеприведённую универсальную формулу (1) корней уравнения указанное соотношение:

1117304eb5c87469fc77f7e0fa5bdfe1 394723c445aa0d3fb1fc2ecbcc9847b2 9fa5c25fd48e5f756bdf30b573c25e84

Для приведённого квадратного уравнения эта формула принимает вид:

6ad04b500a9f6ae1fd286fd94157afe6.

Также при чётном 92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578fудобнее вычислять значение не целого дискриминанта, а его четверти:

16ca4197ac700aa1054b6e93d6878126

или, если уравнение приведённое:

b93717635a2374695b8efc38ed5a92e9.

Все необходимые свойства при этом сохраняются:

0 \Rightarrow D>0″ src=»http://upload.wikimedia.org/math/6/8/e/68eda98d8feacc2fbb9ee7adae1dc95b.png»/>

(вместо знака «больше» в выражение может быть подставлены и другие знаки: «меньше» или «равно»). Подобным преобразованиям можно подвергнуть формулу для нахождения единственного корня при 23ded4c3f6dae981aea9b1ad7949f3e3:

b169f75412352af2d01c99733bc702d4.

Обратите внимание, что для приведённого уравнения можно упростить расчёт следующим образом:

288639b92b48ed9bd13cb6ae560f1f6f.

Отсюда следует важное и полезное правило: корнем приведённого уравнения с чётным вторым коэффициентом и равным нулю дискриминантом является половина второго коэффициента.

Эти выражения является более удобным для практических вычислений при чётном 92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.

Источник

Формула четного коэффициента для квадратного уравнения

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

В этом уроке выведем формулы для решения квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом и научимся решать такие квадратные уравнения, используя эти формулы.

Квадратным уравнением называют уравнение вида ax2 + bx +c=0, где a называют первым или старшим коэффициентом, b – вторым коэффициентом или коэффициентом при х, с – свободным членом, х – переменная, причём a ≠ 0.

Чтобы решить квадратное уравнение, необходимо найти дискриминант D по формуле

image001

Если в квадратном уравнении коэффициент b- четное число, то это уравнение можно представить в виде ax2 + 2kx + c=0, где b=2k, k – целое число.

Выведем формулы для решения квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом. Для этого в основную формулу для решения квадратного уравнения вместо второго коэффициента b подставим 2k.

D = b2 – 4ac = (2k)2 – 4ac = 4k2 – 4ac.

Вынесем за скобки 4 и получим D = 4(k2 – ac).

Обозначим выражение в скобках за D1. Тогда D1 = k2 – ac, а D = 4D1.

Видно, что число корней уравнения зависит от D1. Если D1 больше нуля, то уравнение имеет два корня.

image002

image003

image004

image005

Разделим числитель и знаменатель на 2. После всех преобразований формула примет вид

image006

Корни х1 и х2 зависят только от знака квадратного корня в числителе, поэтому

image007

А если дискриминант D1 равен нулю? Уравнение будет иметь один корень.

image008

Вместо коэффициента b подставим 2k.

image009

image010

Рассмотрим решение квадратного уравнения 5х2 –16 х + 3 = 0 как по основной формуле, так и по формуле с четным вторым коэффициентом. А затем сделаем некоторые выводы.

Итак, сначала выпишем коэффициенты a = 5, b= –16, с = 3.

Найдем дискриминант D по формуле D = b2 – 4ac.

Подставив в неё значения коэффициентов, получим D= (–16)2 – 4 ∙ 5 ∙ 3 = 196,дискриминант больше нуля D>0, значит, уравнение имеет два корня, используя соответствующие формулы, вычисляем:

image011

image012

Так как коэффициент b= –16 четное число, то можно решить это уравнение по формулам решения квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом.

В нашем уравнении 5х2 –16х + 3 = 0, k = –16:2= –8.

Найдем дискриминант D1.

D1 = k2 –ac= (–8)2 – 5 ∙ 3 = 49, он больше нуля D1 >0, уравнение имеет два корня, которые находим по соответствующим формулам:

image013

image014

Заметим, что корни получились одинаковые х1 = 0,2; х2 = 3.

Однако есть преимущества в использовании формул решения квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом.

Во-первых, при нахождении дискриминанта в квадрат возводится не число b, не второй коэффициент, а его половина и вычитается из этого квадрата не 4ac, а просто ac

Во-вторых, при нахождении корней в знаменателе не 2a, а просто a.

В-третьих, дискриминант, находимый по формуле с четным вторым коэффициентом, то есть D1, в 4 раза меньше дискриминанта D.

Если квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом b=2k и с коэффициентом a= 1, т.е. является приведенным x2 + 2kx +c=0, то решить уравнение можно ещё проще. Находим дискриминант по формуле D1 = k2 – c.

Если он больше нуля D1 >0, то корни находим по формулам:

image015

Если дискриминант равен нулю D1=0, то будет один корень х = –k.

Рассмотрим решение квадратного уравнения х2 +10 х–5600 = 0 как по основной формуле, так и по формуле решения квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом, являющееся приведенным.

Выпишем коэффициенты a = 1, b= 10, с = – 5600.

Найдем дискриминант D по формуле D = b2 – 4ac.

D = (10)2 – 4 ∙ 1 ∙ (–5600) = 22500, D > 0, дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня, используя соответствующие формулы, получим значения корней:

image016

image017

Так как коэффициент b = 10 четное число, то можно решить это уравнение по формуле решения квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом. Заметим, что в уравнении коэффициент a=1.

Уравнение является приведенным.

Найдем дискриминант D1.

image018

image019

image020

Если квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 с четным вторым коэффициентом, то есть второй коэффициент можно представить в виде b = 2k, k – целое число, то уравнение лучше решить по соответствующим формулам. При решении поступают следующим образом:

2.Сравнивают дискриминант D1 с нулём.

3.Если дискриминант больше нуля, то уравнение ax2 + 2kx +c=0 имеет два корня

image021

image022

Если дискриминант меньше нуля, корней нет.

4.Если квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 с четным вторым коэффициентом и является приведенным x2 + 2kx + c = 0, коэффициенты a= 1, b = 2k, k – целое число, то уравнение решают следующим образом:

1)Находят дискриминант D1 по формуле D1 = k2 – c.

2)Сравнивают дискриминант D1 с нулём.

3)Если дискриминант больше нуля, то уравнение x2 + 2kx +c=0 имеет два корня

Источник

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Примеры

Число −14 можно представить как 2 × (−7)

Найдем дискриминант по формуле D1 = k 2 − ac

Теперь вычислим корни по формулам: kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 1и kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 2.

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 3

И в отличие от формул formula dlya vychisleniya pervogo kornya kvadratnogo uravneniyaи formula dlya vychisleniya vtorogo kornya kvadratnogo uravneniyaформулы kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 1и kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 2не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x 2 − 6x + 1=0

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 1и kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 2

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 11

Пример 3. Решить квадратное уравнение x 2 − 10x − 24 = 0

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 1и kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 2

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 12

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 14

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 15

Пример 5. Решить квадратное уравнение kvadratnoe uravnenie s chyotnym vtorym koeffitsientom risunok 16

Найдём дискриминант по формуле D1 = k 2 − ac

kvadratnoe uravnenie s chyotnym vtorym koeffitsientom risunok 17

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 1и kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 2

kvadratnoe uravnenie s chyotnym vtorym koeffitsientom risunok 18

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен kvadratnoe uravnenie s chyotnym vtorym koeffitsientom risunok 19.

Вычислим второй корень уравнения:

kvadratnoe uravnenie s chyotnym vtorym koeffitsientom risunok 20

Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Заменим в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b на выражение 2k

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

То есть выражение k 2 − ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D1

Теперь посмотрим как выводятся формулы kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 1и kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 2.

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 5

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 6

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 7

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 8

Сократим получившуюся дробь на 2

kvadratnoe uravnenie s chetnym koeffitsientom risunok 9

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

Источник

Теорема Виета для квадратного уравнения

5f2181c2588f4867648175

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства:

В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:
IcvkeNnc9oXp4Cj2zl8rJYldb1S1OqMjtIFF

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv» width=»99″>

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»57″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=»64″>

Неприведенное квадратное уравнение

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax 2 + bx + c = 0, где а = 1.

Источник

Комфорт
Adblock
detector