Экономический смысл коэффициента регрессии

Экономический смысл коэффициентов линейного и степенного уравнений регрессии

dark fb.4725bc4eebdb65ca23e89e212ea8a0ea dark vk.71a586ff1b2903f7f61b0a284beb079f dark twitter.51e15b08a51bdf794f88684782916cc0 dark odnoklas.810a90026299a2be30475bf15c20af5b

caret left.c509a6ae019403bf80f96bff00cd87cd

caret right.6696d877b5de329b9afe170140b9f935

Коэффициент множественной регрессии bj показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную Xj увеличить на единицу измерения, т. е. является нормативным коэффициентом.

Параметр а = у, когда х = 0. Если х не может быть равен 0, то а не имеет экономического смысла. Интерпретировать можно только знак при а: если а > 0. то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора, т. е. вариация результата меньше вариации фактора: V

В линейной множественной регрессии коэффициенты при хi характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменных значениях других факторов, закреплённых на среднем уровне.

При изучении вопросов потребления коэффициенты регрессии рассматриваются как характеристики предельной склонности к потреблению. Например, если функция потребления Сt имеет вид Сt = b0 + b1* Rt + b2* Rt-1 +epsilont, то потребление за t-й период времени зависит от дохода того же периода Rt и от дохода предшествующего периода Rt-1. Соответственно, коэффициент b1 характеризует эффект от единичного возрастания дохода Rt при неизменном уровне предыдущего дохода. Коэффициент b1 обычно называют краткосрочной предельной склонностью к потреблению. Общим эффектом возрастания как текущего, так и предыдущего дохода будет рост потребления на величину b = b1+b2. Коэффициент b рассматривается здесь как долгосрочная предельная склонность к потреблению.

Уравнение парной степенной модели имеет вид: у = а • х^b

В уравнении парной степенной регрессии параметр b показывает: на сколько процентов изменится результативный показатель, при изменении фактора на /%, то есть является коэффициентом эластичности. Знак при коэффициенте регрессии указывает направление связи между фактором и результативным показателем: если Ь>0, следовательно, связь прямая и с увеличением значения фактора (х) возрастает и значение результативного показателя (у); если Ь

Источник

Экономический смысл параметров уравнения линейной регрессии

Уравнение регрессии

Уравнение регрессии — это математическая формула, определяющая, каким будет среднее значение у при том или ином значении х, если все остальные факторы, влияющие на у, не учитывать, т.е. абстрагироваться от них.

Найти в каждом конкретном случае тип функции, с помощью которой можно наиболее точно отразить зависимость между х и у, — первая задача регрессионного анализа. Виды уравнений:

1) линейная зависимость image002;

2) парабола image004;

3) гипербола image006;

4) показательная функция image008;

5) степенная функция image010и т.д.

Главным основанием для выбора типа функции должен быть содержательный анализ природы изучаемого явления. Полезно отразить зависимость графически.

Метод наименьших квадратов

Далее необходимо определить параметры уравнения регрессии а0 и а1, (для параболы еще и а2). Для этого используют метод наименьших квадратов. В его основу положена идея минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений у от их выравненных (теоретических) значений, т.е.

image012.

где уi — фактические значения результативного признака;

yi(xi) — значения у, найденные по уравнению регрессии.

Если регрессия линейная image002, то

image015

Рассматривая сумму в качестве функции параметров а0 и а1, определяют частные производные по а0 и а1 и приравнивают их к нулю, поскольку в точке экстремума производная функции равна нулю:

image017

Система уравнений для разных типов зависимости между признаками

Если связь между признаками линейная, то система уравнений для нахождения параметров уравнения регрессии примет вид:

image019

После решения системы относительно а1 и а1 составляют уравнение регрессии image002.

Если связь между признаками у их описывается уравнением параболы image004, то система нормальных уравнений примет вид:

image021

Если связь описывается уравнением гиперболы image006, система нормальных уравнений следующая:

image023

Экономический смысл параметров уравнения линейной регрессии

В уравнении линейной регрессии параметр а0 определяет среднее значение y которое складывается под влиянием всех факторов, кроме х.

Параметр а1 называется коэффициентом регрессии, он определяет, на сколько в среднем изменится у при изменении факторного признака на единицу. Чем больше величина а1, тем значительнее влияние данного факторного признака на моделируемый результативный. Знак коэффициента регрессии говорит о характере влияния фактора на результативный признак.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится результативный признаку при изменении факторного признака на 1%. Общая формула для расчета коэффициента эластичности выглядит следующим образом:

image025,

где у'(х) — первая производная уравнения регрессии у(х) по х.

При различных значениях факторного признака х коэффициент эластичности принимает различные значения.

Для линейного уравнения регрессии коэффициент эластичности примет вид:

image027.

Для параболической связи коэффициент эластичности равен:

image029.

Для гиперболической связи коэффициент эластичности равен:

image031

3. Корреляционный анализ. Показатели тесноты связи между признаками

В случае линейной зависимости между признаками для оценки тесноты связи применяют линейный коэффициент корреляции:

image033.

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от —1 до +1. Если |r| 0,9, то связь сильная или весьма тесная. Если image035, то это дает основание говорить об отсутствии линейной связи между х и у.

Источник

Экономическая интерпретация коэффициента регрессии

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

К.ф. – м.н., доцент кафедры: Василенко В.В.

Студент: Чмиль А.А., ФиК, 3 Курс

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн.руб.) от объема капиталовложений (X, млн.руб.).

Xi Yi
33 43
17 27
23 32
17 29
36 45
25 35
39 47
20 32
13 22
12 24

Вспомогательная таблица для расчетов параметров линейной регрессии. Табл.2

Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

После проведенных расчетов линейная модель имеет вид:

Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков; построить график остатков.

Вычисленные остатки приведены в таблице 2. Остаточная сумма квадратов составила 12,02. Дисперсия остатков составила:

194107 7913076

График остатков. Рис.1

Проверить выполнение предпосылок МНК.

Остатки гомоскедастичны, автокорреляция отсутствует (корреляция остатков и фактора Х равна нулю, рис.1), математическое ожидание остатков равно нулю, остатки нормально распределены.

194107 7913077

Корреляция остатков и переменной Х. Рис 2.

Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t – критерия Стьюдента (α = 0,05).

Найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии:

mb = (Dост. / ∑(x – xср.) 2 ) ½ = 0,042585061

Теперь проведем оценку значимости коэффициента регрессии:

tb = b / mb= 21,3424949

При α = 0,05 и числе степеней свободы (n – 2) tтабл. = 2,3060. Так как фактическое значение t – критерия больше табличного, то гипотезу о несущественности коэффициента можно отклонить. Доверительный интервал для коэффицента регрессии определяется как b ± t* mb. Для коэффициента регрессии b границы составят: 0,908871 – 2,3060*0,042585061 ≤ b ≤ 0,908871+2,3060*0,042585061

0,81067 ≤ b ≤ 1,0070722

Далее определим стандартную ошибку параметра a:

ma = (Dост.*( ∑x 2 / (n*∑(x – xср.) 2 )) 1/2 = 1,073194241

Мы видим, что фактическое значение параметра а больше, чем табличное, следовательно, гипотезу о несущественности параметра а можно отклонить. Доверительный интервал составит: a± t* ma. Границы параметра составят:

9,766735 ≤ a ≤14,716305

Проверим значимость линейного коэффициента корреляции на основе ошибки коэффициента корреляции:

mr = ((1 – r 2 ) / (n – 2)) 1/2 = 0,046448763

Фактическое значение t – критерия Стьюдента определяется:

tr = (r / (1 – r 2 )) * (n – 2) 1/2 = 21,3424949

Значение tr фактическое больше табличного, следовательно при уровне значимости α = 0,05 и степени свободы (n – 2), коэффициент корреляции существенно отличен от нуля и зависимость является достоверной.

Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью f – критерия Фишера (α = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

R 2 = Rxy 2 = 0,98274 – детерминация.

F = (R 2 /(1 – R 2 ))*((n – m – 1)/m) = 455,5020887

Fтабл. 5,32 2 / ∑(x – xср ) 2 ) 1/2 = 1,502474351*(1+(1/10)+ ((31,2 – 23,5) 2 / 828,50)) 1/2 = 1,6262596 млн.руб.

Предельная ошибка прогноза, которая в 90% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза:

γур min = 40,598295 – 3,7501546 = 36,848141 млн.руб.

γур max = 40,598295 + 3,7501546 = 44,348449 млн.руб.

Среднее значение показателя составит:

Yp = (36,848141 + 44,348449) / 2 = 40,598295 млн.руб.

Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза

194107 7913078

График фактических и прогнозируемых параметров. Рис.3

Составить уравнения нелинейной регрессии:

Построить графики построенных уравнений регрессии.

Y(x) = 54,1842 + (-415,755) * 1/x – гиперболическое уравнение регрессии.

Y(x) = 4,746556 * X 0,625215 – степенное уравнение регрессии.

Y(x) = 17,38287 * 1,027093 X показательное уравнение регрессии.

Графикимоделей представлены ниже на рисунках 4,5 и 6.

194107 7913079

194107 7913080

194107 7913081

Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициент эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать выводы.

Коэффициенты (индексы) детерминации:

R 2 показ = Rxy = 0,959136358

Эпоказ = x * lnb = 0,628221

Средние относительные ошибки аппроксимации:

А = 1/n * ∑ |y – yxi | * 100%

Как мы видим, степенная регрессия наиболее интересна в экономическом смысле, потому что у нее самый низкий показатель средней ошибки аппроксимации, самый высокий показатель эластичности и детерминации. Это говорит о том, что у степенной регрессионной модели высокое качество, она предлагает наибольшую прибыль и более зависима от фактора Х (капиталовложений).

Список использованной литературы

1. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курашева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 192.: ил.

2. Эконометрика. Учебник для вузов.; Под ред. чл. – кор. РАН И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 344.

Источник

Экономическая интерпретация параметров модели

image244

Рис. 4.1. Интерпретация параметров модели

Коэффициенты корреляции и детерминации в линейной модели парной регрессии. Если все точки лежат на построенной прямой, то регрессия Y на Х «идеально» объясняет поведение зависимой переменной. Обычно поведение Y лишь частично объясняется влиянием переменной Х.

image245

Рис. 4.2. Диаграмма Венна

Линейный коэффициент парной корреляции:

image246

Если b>0, то ryx>0; если b 2 – остаточная дисперсия на одну степень свободы;

t – случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с заданной вероятностью.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Каков экономический смысл коэффициента регрессии?

2. Какой смысл может иметь свободный коэффициент уравнения регрессии?

3. Какова связь между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии в линейной модели парной регрессии?

4. Каков статистический смысл коэффициента детерминации?

5. Как записывается баланс для сумм квадратов отклонений результативного признака?

6. Что происходит, когда общая СКО равна остаточной? В каком случае общая СКО равна факторной?

7. Что такое число степеней свободы? Чему равны числа степеней свободы для различных СКО в парной регрессии?

8. Как используется F-статистика в регрессионном анализе?

9. Как F-статистика связана с коэффициентом детерминации в парной регрессии?

10. Как рассчитать критерий Стьюдента для коэффициента регрессии в линейной модели парной регрессии?

11. В чем суть предсказания индивидуальных значений зависимой переменной?

Задача 1. Пусть имеется следующая модель парной регрессии, построенная по 20 наблюдениям: image265. При этом image266— 0,5.

Задание: построить доверительный интервал для коэффициента регрессии в этой модели с вероятностями 0,9 и 0,95.

Задача 2. Анализируется зависимость между доходами горожан (X), имеющими индивидуальные домовладения, и рыночной стоимостью их домов (Y). По случайной выборке из 120 горожан данной категории получены результаты:

image26727343; image268115870; image26975200;

image2701620340; image271250431.

Задание: найти оценку коэффициента регрессии image272и построить 95% доверительный интервал для коэффициента регрессии.

Источник

Экономический смысл коэффициентов регрессии

Многомерный регрессионный анализ позволяет разграничить влияние факторных признаков. Параметр регрессии img 4HNA2Eпри каждом факторном признакеimg DDyPcXдает оценку его влияния на величину результативного признака img 7u04gFв случае изменения img qgNjvUна единицу при постоянстве всех остальных факторов.

Прогнозирование на основе полученной моделивыполняется аналогично прогнозам парной линейной регрессии.

Точечный прогнозполучается при подстановке прогнозных значений факторных признаковimg LQseu4в уравнение регрессии. Полученное значение img o6cXD4является точечным прогнозом результативного признакаimg.

Интервальный прогнозуказывает нижнюю и верхнюю границу промежутка, в котором находится истинное значение прогнозируемого показателяimg 7Qweok.Доверительный интервал определяется выражением

img iQw2Mh,

Пример 3.9. По данным таблицы 3.17 записать уравнение регрессии и выполнить анализ полученной модели.

Решение. Так как инструмент «Регрессия» может выполнять только линейный регрессионный анализ, то в итоге имеем следующее уравнение многомерной линейной регрессии

imgТаблица 3.17. Результаты работы инструментаРегрессия

img 2AkPw

Выполним анализ полученной модели регрессии:

коэффициент множественной корреляции равен 0,7084, следовательно, между результативным признаком и данными факторными признаками наблюдается сильная корреляционная связь;

коэффициент множественной детерминации img NI2kOт.е. только 50,2% дисперсии результативного признака связано с данными факторными признаками;

img 7Jy1Fgт.е. расчетное значение критерия Фишера больше критического значения и, следовательно, уравнение регрессии в целом статистически значимо и наблюдается хорошее соответствие данным наблюдений;

критическое значение img TW19mE— статистики при уровне значимостиimg v1X9qfТолько для двух коэффициентов, стоящих приimg aMJX64расчетные значенияimg wR14jW— статистики больше критического, т.е. эти коэффициенты статистически значимы, что подтверждаетсяimg PHcpk2— значениями и границами доверительного интервала. Для остальных коэффициентов нет причин отвергать нулевую гипотезу, так как они могут принимать нулевые значения. Об этом свидетельствуют знаки границ доверительного интервала каждого из этих коэффициентов.

Следовательно, модель регрессии пригодна для принятия некоторых решений, но не для прогнозирования.

Проанализируем наличие парной корреляционной связи между факторными признаками, входящими в модель регрессии, по корреляционной матрице (рис.3.8):

наблюдается очень сильная связь между факторными признаками img 4cmPQrтак как коэффициент парной корреляции между ними равен 0,97. Следовательно, в многомерную модель регрессии включать их вместе нельзя;

между признаками img O2MWEO, а также междуimg 0 TcTmсвязь умеренная;

признаки img V8YSAeнезависимы между собой;

между результативным признаком img k 100aнаблюдается заметная связь, а междуimg RBP7F5— умеренная. С остальными факторными признаками связь практически отсутствует.

img qYvHTr

Рис.3.8. Корреляционная матрица

Обозначения к корреляционной матрице: img ire0u7— производительность труда (среднегодовая выработка продукции на одного работника), тыс. грн.;img— трудоемкость единицы продукции;img CBMpaX— удельный вес рабочих в составе промышленно-производственного персонала;img FHZmRQ-коэффициент сменности оборудования;img ecgeFI— премии и вознаграждения на одного работника, %;img FPBGSd— непроизводственные расходы, %.

Следовательно, на основе исследуемой многомерной выборки можно сделать вывод, что из рассматриваемых факторных признаков на производительность труда оказывают влияние трудоемкость единицы продукции и премии. Эти факторные признаки следует включить в модель многомерной нелинейной регрессии.

Так как коэффициент детерминации сравнительно мал, то при разработке модели регрессии следует рассмотреть дополнительные неучтенные факторные признаки.

В таблице 3.18 приведены результаты работы инструмента «Регрессия» для модели регрессии без факторного признака img ntmAszВыполните анализ этой модели регрессии.

Источник

Комфорт