- Что такое вес позиции в системе счисления
- Вариант 1
- Вариант 2
- Вариант 3
- Содержание урока
- §10. Позиционные системы счисления
- Основные понятия
- Урок 6 Системы счисления. Позиционные системы счисления. Двоичная система счисления §9. Системы счисления. §10. Позиционные системы счисления. §11. Двоичная система счисления
- Содержание урока
- §10. Позиционные системы счисления
- Основные понятия
- Глава 4. Арифметические основы компьютеров
- 4.1. Что такое система счисления?
- 4.2. Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?
- 4.3. Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером?
- 4.4. Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?
- 4.5. Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?
- 4.6. Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления?
- 4.7. Как пеpевести пpавильную десятичную дpобь в любую другую позиционную систему счисления?
- 4.8. Как пеpевести число из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную?
- 4.9. Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы счисления в другую
- 4.10. Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления?
- Сложение
- Вычитание
- Умножение
- Деление
- 4.11. Как представляются в компьютере целые числа?
- 4.12. Как компьютер выполняет арифметические действия над целыми числами?
- Сложение и вычитание
- Умножение и деление
- 4.13. Как представляются в компьютере вещественные числа?
- 4.14. Как компьютер выполняет арифметические действия над нормализованными числами?
- Сложение и вычитание
- Умножение
- Деление
- 4.15. Упражнения
Что такое вес позиции в системе счисления
Система счисления — это способ записи чисел.
Позиционная система счисления — это такая система, в которой вклад цифры зависит от её позиции в записи числа.
Вес позиции — это число, на которое умножается цифра, находящаяся в этой позиции.
Чтобы определить значение числа по его записи в позиционной системе счисления, нужно умножить цифры на веса их позиций и сложить результаты.
Основание позиционной системы счисления — это число, которое используется для определения веса позиций.
Вес первой позиции всегда равен единице. Вес каждой следующей позиции получается из веса предыдущей умножением на основание системы (нумерация справа налево).
Вариант 1
Прочитайте скороговорки, заменяя двоичные числа десятичными:
| Съел молодец 100001 2 пирога с пирогом, Да все с творогом. Шли 101000 2 мышей, |
Разгадайте двоично-буквенные ребусы:
| 1100100 Л | 101000 А |
| СВИ 1100100 К | 10001 плюс 11001 равно 101010 |
Выполните вычисления и запишите ответ в десятичной системе счисления:
| 1) | 100 2 ·5 8 = |
| 2) | 100 3 + 100 5 = |
| 3) | 10 9 ·10 100 – 10 900 = |
| 4) | 33 4 + 44 5 = |
| 5) | 15 6 + 51 8 = |
Переведите заданные числа в указанные системы счисления:
| Число 10 | Число 5 | Число 4 | Число 3 | Число 2 |
|---|---|---|---|---|
| 1) | 0 | |||
| 2) | 1 | |||
| 3) | 2 | |||
| 4) | 3 | |||
| 5) | 4 | |||
| 6) | 5 | |||
| 7) | 9 | |||
| 8) | 16 | |||
| 8) | 25 | |||
| 9) | 32 | |||
| 10) | 64 |
Вариант 2
Запишите арифметическое выражение для решения следующей задачи и подсчитайте ответ:
| Наша умница Мальвина Опекает Буратино И купила для него, Что ему нужней всего: 10 2 обложки, 11 2 линейки И на 111 2 рублей наклейки. На обложках Бармалей, Цена каждой 101 2 рублей. На линейки, что купила, 101010 2 рубля хватило. Сколько стоили покупки? На раздумье полминутки. |
Попробуйте использовать стандартную программу Калькулятор для перевода чисел из стихотворения в привычную десятичную запись ( Вид Инженерный, Bin двоичное представление числа, Dec десятичное представление числа). Запишите алгоритмы перевода чисел с помощью Калькулятора из двоичного представления в десятичное и наоборот, из десятичного в двоичное.
Вариант 3
Докажите, что запись 10 в любой позиционной системе счисления означает число, равное основанию этой системы.
Определите основание позиционной системы счисления для каждого равенства.
Шестнадцатеричная система счисления использует 16 цифр. Первые десять цифр совпадают с цифрами десятичной системы, а последние обозначаются буквами латинского алфавита:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
| Цифра | Значение |
| A | 10 |
| B | 11 |
| C | 12 |
| D | 13 |
| E | 14 |
| F | 15 |
A8 16 = 10 ·16 + 8 ·1 = 168 10
В каждом задании найдите значение числа x.
Выполните следующие задания.
Сформулировать алгоритм перевода числа из десятичной в троичную систему счисления.
Построить таблицы сложения и умножения для четверичной системы счисления. Пользуясь этими таблицами выполнить столбиком следующие действия над числами (оставаясь в четверичной системе счисления):
Построить таблицы сложения и умножения для двоичной системы счисления. Пользуясь этими таблицами выполнить столбиком следующие действия над числами (оставаясь в двоичной системе счисления):
Содержание урока
§9. Системы счисления
§10. Позиционные системы счисления
Основные понятия
§11. Двоичная система счисления
§10. Позиционные системы счисления
Основные понятия
Позиционная система счисления — это такая система счисления, в которой значение цифры («вес») полностью определяется её местом (позицией) в записи числа.
Пример позиционной системы счисления — привычная нам десятичная система. В числе 6375 цифра 6 обозначает тысячи (т. е. 6000), цифра 3 — сотни (300), цифра 7 — десятки (70), а цифра 5 — единицы:
6375 = 6 • 1000 + 3 • 100 + 7 • 10 + 5 • 1.
Алфавит системы счисления — это используемый в ней набор цифр.
Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).
В десятичной системе основание — 10, алфавит состоит из 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Число 10, вероятно, было выбрано потому, что люди сначала использовали для счета свои 10 пальцев на руках.
Разряд — это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.
В числе 6375 цифра 6 стоит в третьем разряде (тысячи, 10 3 ), 3 — во втором разряде (сотни, 10 2 ), 7 — в первом (десятки, 10 1 ), а 5 — в нулевом (единицы, 10 0 ). Не забывайте, что любое число (кроме нуля!) в нулевой степени равно 1. Поэтому
Это так называемая развёрнутая форма записи числа. Из этой записи видно, что последняя цифра 5 — это остаток от деления числа на 10 (все остальные слагаемые делятся на 10); число, составленное из двух последних цифр (75), — это остаток от деления исходного числа на 100 = 10 2 и т. д. Поэтому все числа, делящиеся на 100 без остатка, оканчиваются на два нуля.
Чтобы определить число, записанное в позиционной системе счисления, нужно значение каждой цифры умножить на основание системы счисления в степени, равной разряду этой цифры, и сложить полученные величины.
Число 6375 можно представить в другой форме — по схеме Горнера:
6375 = ((6 • 10 + 3) • 10 + 7) • 10 + 5.
Эта форма позволяет найти число, используя только умножение и деление (без возведения в степень).
Кроме десятичной системы на практике используются ещё несколько позиционных систем:
• двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная в компьютерной технике;
• двенадцатеричная английская система мер (1 фут =12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов);
• шестидесятеричная система измерения времени (1 час = = 60 минут, 1 минута = 60 секунд).
Следующая страница 
Целые числа
Cкачать материалы урока
Урок 6
Системы счисления. Позиционные системы счисления. Двоичная система счисления
§9. Системы счисления. §10. Позиционные системы счисления. §11. Двоичная система счисления
Содержание урока
§9. Системы счисления
§10. Позиционные системы счисления
Основные понятия
§11. Двоичная система счисления
§10. Позиционные системы счисления
Основные понятия
Позиционная система счисления — это такая система счисления, в которой значение цифры («вес») полностью определяется её местом (позицией) в записи числа.
Пример позиционной системы счисления — привычная нам десятичная система. В числе 6375 цифра 6 обозначает тысячи (т. е. 6000), цифра 3 — сотни (300), цифра 7 — десятки (70), а цифра 5 — единицы:
6375 = 6 • 1000 + 3 • 100 + 7 • 10 + 5 • 1.
Алфавит системы счисления — это используемый в ней набор цифр.
Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).
В десятичной системе основание — 10, алфавит состоит из 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Число 10, вероятно, было выбрано потому, что люди сначала использовали для счета свои 10 пальцев на руках.
Разряд — это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.
В числе 6375 цифра 6 стоит в третьем разряде (тысячи, 10 3 ), 3 — во втором разряде (сотни, 10 2 ), 7 — в первом (десятки, 10 1 ), а 5 — в нулевом (единицы, 10 0 ). Не забывайте, что любое число (кроме нуля!) в нулевой степени равно 1. Поэтому
Это так называемая развёрнутая форма записи числа. Из этой записи видно, что последняя цифра 5 — это остаток от деления числа на 10 (все остальные слагаемые делятся на 10); число, составленное из двух последних цифр (75), — это остаток от деления исходного числа на 100 = 10 2 и т. д. Поэтому все числа, делящиеся на 100 без остатка, оканчиваются на два нуля.
Чтобы определить число, записанное в позиционной системе счисления, нужно значение каждой цифры умножить на основание системы счисления в степени, равной разряду этой цифры, и сложить полученные величины.
Число 6375 можно представить в другой форме — по схеме Горнера:
6375 = ((6 • 10 + 3) • 10 + 7) • 10 + 5.
Эта форма позволяет найти число, используя только умножение и деление (без возведения в степень).
Кроме десятичной системы на практике используются ещё несколько позиционных систем:
• двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная в компьютерной технике;
• двенадцатеричная английская система мер (1 фут =12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов);
• шестидесятеричная система измерения времени (1 час = = 60 минут, 1 минута = 60 секунд).
Следующая страница Целые числа
Cкачать материалы урока
Глава 4. Арифметические основы компьютеров
4.1. Что такое система счисления?
| Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). |
Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения
Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
| Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. |
За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем : двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения
где a i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.
4.2. Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?
В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.
| Продвижением цифры называют замену её следующей по величине. |
Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета [44]:
| Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё. |
4.3. Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером?
4.4. Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?
Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.
4.5. Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.
Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).
| Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр). |
4.6. Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления?
Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
4.7. Как пеpевести пpавильную десятичную дpобь в любую другую позиционную систему счисления?
Умножение пpоизводится до тех поp, пока дpобная часть пpоизведения не станет pавной нулю. Это значит, что сделан точный пеpевод. В пpотивном случае пеpевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифp в pезультате, котоpое поместится в ячейку.
Пример: Перевести число 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
4.8. Как пеpевести число из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную?
| При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления. |
4.9. Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы счисления в другую
Для определенности возьмем произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую.
Порядок переводов определим в соответствии с рисунком:
Например: означает перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную, имеющий в таблице порядковый номер 6.
Сводная таблица переводов целых чисел
4.10. Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления?
Сложение
Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.
| В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код. |
Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией cложения.
Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.
| Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа. |
4.12. Как компьютер выполняет арифметические действия над целыми числами?
Сложение и вычитание
При сложении обратных кодов чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:
1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:
Получен правильный результат.
2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:
3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:
Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.
4. А и В отрицательные. Например:
Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа –11 10 вместо обратного кода числа –10 10 ) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.
Все эти случаи имеют место и при сложении дополнительных кодов чисел:
2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:
3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:
Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.
4. А и В отрицательные. Например:
Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.
Умножение и деление
Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.
4.13. Как представляются в компьютере вещественные числа?
| Вещественными числами (в отличие от целых) в компьютерной технике называются числа, имеющие дробную часть. |
Если “плавающая” точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует:
Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе.
Примеры нормализованного представления:
Десятичная система Двоичная система
Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному. При этом компьютер обычно предоставляет программисту возможность выбора из нескольких числовых форматов наиболее подходящего для конкретной задачи — с использованием четырех, шести, восьми или десяти байтов.
В качестве примера приведем характеристики форматов вещественных чисел, используемых IBM-совместимыми персональными компьютерами:
| Форматы вещественных чисел | Размер в байтах | Примерный диапазон абсолютных значений | Количество значащих десятичных цифр |
| Одинарный | 4 | 10 –45 … 10 38 | 7 или 8 |
| Вещественный | 6 | 10 –39 … 10 38 | 11 или 12 |
| Двойной | 8 | 10 –324 … 10 308 | 15 или 16 |
| Расширенный | 10 | 10 –4932 … 10 4932 | 19 или 20 |
При хранении числа с плавающей точкой отводятся разряды для мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка:
· Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа.
· Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.
Покажем на примерах, как записываются некоторые числа в нормализованном виде в четырехбайтовом формате с семью разрядами для записи порядка.
1. Число 6.25 10 = 110.01 2 = 0,11001•2 11 :
2. Число –0.125 10 = –0.0012 = –0.1*2 –10 (отрицательный порядок записан в дополнительном коде):
4.14. Как компьютер выполняет арифметические действия над нормализованными числами?
К началу выполнения арифметического действия операнды операции помещаются в соответствующие регистры АЛУ.
Сложение и вычитание
В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.
Умножение
| При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются. |
Пример 3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:
Деление
| При делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется. |
Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных чисел:
Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему арифметико-логического устройства.
4.15. Упражнения
4.1. Используя Правило Счета, запишите первые 20 целых чисел в десятичной, двоичной, троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления.
4.4. Какой цифрой заканчивается четное двоичное число? Какой цифрой заканчивается нечетное двоичное число? Какими цифрами может заканчиваться четное троичное число?
4.6. В какой системе счисления 21 + 24 = 100?
4.8. Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.
4.10. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
4.12. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:
4.14. Для десятичных чисел 47 и 79 выполните цепочку переводов из одной системы счисления в другую:
4.15. Составьте таблицы сложения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.
4.16. Составьте таблицы умножения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.
4.18. В каких системах счисления выполнены следующие сложения? Найдите основания каждой системы:
4.19. Найдите те подстановки десятичных цифр вместо букв, которые делают правильными выписанные результаты (разные цифры замещаются разными буквами):
4.22. Разделите 10010110 2 на 1010 2 и проверьте результат, умножая делитель на частное.
4.23. Разделите 10011010100 2 на 1100 2 и затем выполните соответствующее десятичное и восьмеричное деление.
4.27. Запишите числа в прямом коде (формат 1 байт):
а) 31; б) –63; в) 65; г) –128.
4.28. Запишите числа в обратном и дополнительном кодах (формат 1 байт):
а) –9; б) –15; в) –127; г) –128.
4.29. Найдите десятичные представления чисел, записанных в дополнительном коде:
а) 1 1111000; б) 1 0011011; в) 1 1101001; г) 1 0000000.
4.30. Найдите десятичные представления чисел, записанных в обратном коде:
а) 1 1101000; б) 1 0011111; в) 1 0101011; г) 1 0000000.
detector