Что показывают коэффициенты в квадратичной функции

Квадратичная функция и её график

Парабола является графиком квадратичной функции, которая задается формулой y = ax 2 + bx + c.

Нарисовать параболу можно, используя таблицу значений, в которой мы выбираем произвольный х и находим у. Но не всегда этот способ является самым рациональным.

Начнем, как всегда, с простого)

Стандартная парабола.

На координатной плоскости отмечаем эти точки и чертим параболу.

Начало координат тоже является вершиной этой параболы, как и в предыдущем случае, но ветви уже будут направлены вниз:

Если у тебя черный пояс по рисованию стандартных парабол, то следующий раздел пройдет у тебя «на ура».

Параболы со смещенной вершиной.

Зачем я начала статью со стандартной параболы? Ответ прост. Графиком любой квадратичной функции y = ±x 2 + bx + c (обязательно коэффициент перед х 2 должен равняться ±1) является стандартной параболой, только вот вершины этих парабол не будут находится в начале координат.

Чтобы начертить подобные параболы нужно сначала узнать, где находится вершина.

Пусть вершиной параболы будет точка О с координатами (x₁; y₁). Тогда найти эти координаты можно по формулам:

Кстати, можно найти координаты вершины и другим способом.

Координату х_О находим по той же формуле, а координату у_О можно найти подстановкой координаты х_О в функцию.

Без примера не обойтись)

Найдем сначала вершину параболы двумя способами, чтобы убедится, что оба способа рабочие.

1 способ: по формулам.

2 способ: подстановкой.

Одну координаты мы уже нашли по формуле. Подставляем ее в исходную функцию.

Параболы-стройняшки и параболы-пухляшки.

Удивительно, но числовой коэффициент перед х 2 оказывается влияет на стройность и полноту парабол.

Если числовой коэффициент лежит в промежутке (-1; 0) ∪ (0; 1), то парабола будет более обширно смотреться на координатной плоскости.

Не веришь? Давай проверим! Для примера возьмем две функции:

К сожалению, здесь схитрить не получится: обе параболы нестандартные и для обеих необходимо создать таблицы значений. Но перед эти определимся с их вершинами.

Переходим к таблицам значений.

x	0	2	4	6	8
y	3	6	7	6	3

x	-1,5	-1	-0,25	0	1
y	-3	1	4,5	3	-3

Чертим обе параболы по получившимся координатам.

Вот о чем я и говорила) Перед тобой парабола-стройняшка и парабола-пухляшка во всей красе.

Практикум по параболам.

Теорию о параболах можно еще писать и дальше, но тебя, скорее всего, интересует практика по графикам.

Поскольку речь идет о параболах, то с параболами мы и будем сейчас возиться.

Задание 1. На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 ​+ bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

А) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с отрицателен, то график пересекает ось Оу ниже нуля. Подходит график 1.

Б) Если коэффициент а отрицателен, то ветви направлены вниз; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 3.

В) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 2.

Задание 2 (наоборот). На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 ​+ bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

А) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу выше нуля, значит и с > 0. Подходит вариант под номером 3.

Б) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу ниже нуля, значит и с 0. Подходит вариант под номером 2.

Задание 3. Установите соответствие между графиками и их функциями.

Дальше рекомендую отработанную годами технику. Она минимизирует твои ошибки, если ты, конечно, умеешь считать)

Задание 4 (наоборот, но принципе тот же). Установите соответствие между функциями и их графиками.

На графике 1 выбираем точку. Вершина снова четкая, но для разнообразия давайте возьмем другую точку, например, точку с координатами (-4; 1). Будь внимателен и смотри, чтобы точно такой же точки не было на третьем графике!

Источник

Квадратичная функция. Парабола

Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют функцией в математике.

Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика) дальнейшее изучение других видов функций будет даваться значительно легче.

Что называют квадратичной функцией

Квадратичная функция — это функция вида

Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень, в которой стоит « x » — это « 2 », то перед нами квадратичная функция.

Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты « a », « b » и « с ».

Как построить график квадратичной функции

График квадратичной функции называют параболой.

Парабола выглядит следующим образом.

Также парабола может быть перевернутой.

Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции. Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.

Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.

Построим график квадратичной функции « y = x 2 −7x + 10 ».

Если « a > 0 », то ветви направлены вверх.

Если « a », то ветви направлены вниз.

В нашей функции « a = 1 », это означает, что ветви параболы направлены вверх.

Чтобы найти « x₀ » (координата вершины по оси « Ox ») нужно использовать формулу:

Найдем « x₀ » для нашей функции « y = x 2 −7x + 10 ».

Теперь нам нужно найти « y₀ » (координату вершины по оси « Oy »). Для этого нужно подставить найденное значение « x₀ » в исходную функцию. Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке «Как решать задачи на функцию» в подразделе «Как получить значение функции».

Выпишем полученные координаты вершины параболы.

(·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.

Отметим вершину параболы на системе координат. Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график относительно оси « Oy ».

Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.

Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью « Ox » (осью абсцисс).

Наглядно нули функции на графике выглядят так:

Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата по оси « Oy » равна нулю.

Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.

Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо « y = 0 ».

0 = x 2 −7x + 10
x 2 −7x + 10 = 0
x_1;2 =

7 ± √ 49 − 4 · 1 · 10

2 · 1

x_1;2 =

7 ± √ 9

2

x_1;2 =

7 ± 3

2

x1 = 7 + 3 2	x2 = 7 − 3 2
x1 = 10 2	x2 = 4 2
x1 = 5	x2 = 2

Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения с осью « Ox ». Назовем эти точки и выпишем их координаты.

Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.

Возьмем четыре произвольные числовые значения для « x ». Целесообразно брать целые числовые значения на оси « Ox », которые наиболее близки к оси симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.

Для каждого выбранного значения « x » рассчитаем « y ».

Запишем полученные результаты в таблицу.

x	1	3	4	6
y	4	−2	−2	4

Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).

Теперь мы готовы построить график. На забудьте после построения подписать график функции.

Краткий пример построения параболы

Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции. Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.

Пусть требуется построить график функции « y = −3x 2 − 6x − 4 ».

x₀ =

−b

2a

x₀ =

−(−6)

2 · (−3)

=

6

−6

= −1

y₀(−1) = (−3) · (−1) 2 − 6 · (−1) − 4 = −3 · 1 + 6 − 4 = −1

(·) A (−1; −1) — вершина параболы.

Точки пересечения с осью « Ox » ( y = 0 ).

x_1;2 =

−6 ± √ 6 2 − 4 · 3 · 4

2 · 1

x_1;2 =

−6 ± √ 36 − 48

2

x_1;2 =

−6 ± √ −12

2

Ответ: нет действительных корней.

Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось « Ox ».

Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки « (−2; −4) » и « (0; −4) ». Построим и подпишем график функции.

Источник

Что показывают коэффициенты в квадратичной функции

Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса «вымучивают» свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.

Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на «чтение» графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.

Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.

Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.

Самая простая зависимость для коэффициента а. Большинство школьников уверенно отвечает: » если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а 0.

В данном случае а = 0,5

А теперь для а 2 + b 0 + c = c. Получается, что у = с. То есть с – это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с 0:

Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:

Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с 0. Окончательно имеем: а > 0, b > 0, с 0)

тел. моб. (495) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

тел. моб. 8 (499) 723 68 84. Звонить можно до 23:00.

тел. дом. 8 (925) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

Источник

Квадратичная функция (ЕГЭ 2022)

Проверь себя, ответь на эти вопросы:

В конце статьи ты будешь знать ответы на эти вопросы.

Квадратичная функция – коротко о главном

Квадратичная функция – функция вида \( y=a<^<2>>+bx+c\), где \( a\ne 0\), \( b\) и \( c\) ­– любые числа (коэффициенты), \( c\) – свободный член.

График квадратичной функции – парабола.
Вершина параболы: \( \displaystyle <_<в>>=\frac<-b><2a>\).

Квадратичная функция вида: \( y=a<^<2>>\).

Чем больше значение \( \displaystyle a\) (по модулю), тем у́же становится парабола (ветви становятся более крутыми). И наоборот, чем меньше \( \displaystyle a\), тем парабола шире.

Варианты расположения параболы в зависимости от коэффициента \( \displaystyle a\) и дискриминанта \( \displaystyle D=<^<2>>-4ac\).

Что такое функция?

Не знаешь? Тогда сперва прочитай тему «Функции» – она несложная, но очень важная.

А мы пока повторим.

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).

То есть, если у тебя есть функция \( y=f\left( x \right)\), это значит что каждому допустимому значению переменной \( x\) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной \( y\) (называемой «функцией»).

Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме “Функции”.

Все дело в понятии «область определения»:

Для некоторых функций не все аргументы можно подставить в зависимость.

Например, для функции \( y=\sqrt\) отрицательные значения аргумента \( x\) – недопустимы.

Кстати, а с линейной функцией ты уже дружишь? Про нее все написано в теме «Линейная функция» – там ты поймешь, что в функциях ничего страшного нет и научишься понимать и использовать коэффициенты (это циферки перед буквой \( x\)).

И еще, надеюсь, ты умеешь решать квадратные уравнения? Освежить память можно, почитав тему «Квадратные уравнения».

Квадратичная функция – подробнее

Квадратичная функция – это функция вида \( y=a<^<2>>+bx+c\), где \( a\ne 0\), \( b\) и \( c\) ­– любые числа (они и называются коэффициентами).

Число \( a\) называют старшим или первым коэффициентом такой функции, \( b\) – вторым коэффициентом, а \( c\) – свободным членом.

Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения \( D\left( y \right)\) и область значений\( E\left( y \right)\).

Какими могут быть значения аргумента квадратичной функции \( y=a<^<2>>+bx+c\)? Правильно, любыми. Ведь в эту формулу можно подставить любое число (в отличии, например, от функции \( y=\frac<1>\) – в нее нельзя подставить \( x=0\)).

Значит, область определения – все действительные числа:

А теперь множество значений. Все ли значения может принимать функция?

Достаточно рассмотреть самую простую квадратичную функцию \( y=<^<2>>\) \( \left( a=1,\text< >b=0,\text< >c=0 \right)

\), чтобы убедиться в обратном: ведь какое бы число мы не возводили в квадрат, результат всегда будет больше или равен нулю.

Значит, эта функция всегда не меньше нуля.

А вот больше нуля она может быть сколько угодно: ведь бесконечно большой x в квадрате будет еще больше.

Таким образом, можем написать для \( y=<^<2>>:E\left( y \right)=\left[ 0;+\infty \right)\).

В каждом отдельном случае область значений будет разная, но всегда – ограниченная.

График квадратичной функции

Наверняка ты слышал, что график квадратичной функции называется параболой. Как она выглядит? Сейчас нарисуем

Кстати мы очень подробно разобрали как быстро и правильно рисовать параболу. Переходи по ссылке и всему научишься.

Начнем с простейшей квадратичной функции – \( y=<^<2>>\).

Составим таблицу значений:

x	-2	-1	0	1	2
y	4	1	0	1	4

Нарисуем эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией:

Именно так и выглядит парабола. Самая нижняя ее точка называется вершиной, а части спарва и слева от вершины называем ветвями параболы. Как видим, ветви симметричны относительно вертикали, проходящей через вершину.

Рассмотрим теперь другую функцию: \( y=<^<2>>-2-3\).

Составим таблицу значений:

x	-2	-1	0	1	2	3	4
y	5	0	-3	-4	-3	0	5

Сравним два рисунка.

Видно, что это как будто одна и та же парабола, просто расположенная в разных местах.

Во второй параболе вершина переместилась в точку \( \left( 1;-4 \right)\), а ветви переехали вместе с ней.

Да, так оно и есть: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом, a выглядят одинаково – даже при разных остальных коэффициентах.

Кстати, если хочешь научиться быстро и правильно рисовать график квадратичной функции, то переходи по ссылке, там отличная статья.

Коэффициенты квадратичной функции

Давай разберем, на что влияют коэффициенты квадратичной функции.
Начнем со старшего коэффициента.
Будем рассматривать функции вида \( y=a<^<2>>\) (\( b=0\), \( c=0\) – пусть не мешают).

Что ты видишь? Чем они отличаются? Какую закономерность можно заметить?

Во-первых, это невозможно не заметить, если \( \displaystyle \mathbf \mathbf<0>\) – вверх.

Значит, если парабола пересекает ось \( \displaystyle Ox\) в двух точках, то у нас два корня квадратного уравнения.

Если не пересекает – корней нет.

Но бывает ведь, что дискриминант уравнения равен нулю, и тогда только один корень. В этом случае парабола касается оси \( \displaystyle Ox\) вершиной:

А что такое вершина параболы?

Вершина параболы

Корень уравнения в этом случае указывает на вершину параболы. Если вспомнить формулу корня квадратного уравнения при \( \displaystyle D=0\), получим формулу вершины:

Это тоже бывает очень полезно.

Итак, всего возможны шесть разных вариантов расположения параболы. Вот они все на одном рисунке:

А теперь порешаем задачки.

Решение задач

1. График какой из функций избражен на рисунке?

2. Найдите сумму корней квадратного уравнения \( a<^<2>>+bx+c=0\), если на рисунке приведен график функции \( y=a<^<2>>+bx+c\):

3. Найдите произведение корней квадратного уравнения \( a<^<2>>+bx+c=0\), если на рисунке приведен график функции \( y=a<^<2>>+bx+c\):

4. По графику функции \( y=<^<2>>+bx+c\) определите коэффициенты \( b\) и \( c\):

Решения

1. Первое: куда «смотрят» ветви параболы? Вниз. А что это значит? Правильно, \( \displaystyle a

Преобразования графиков функций (ЕГЭ 18. Задачи с параметром)

Научились строить график какой-то функции? А что, если я теперь поменяю один из коэффициентов? Или «заключу» часть функции в модуль?

Можно ли не строить для этого новый график, а просто передвинуть/растянуть старый?

Можно! И на этом уроке мы научимся производить такие трансформации.

Благодаря таким трансформациям мы станем понимать, как выглядят графики функций при всех значениях параметра и научимся решать задачи из ЕГЭ на эту тему.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы:

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Хочешь помочь?

Поздравляю! Ты разблокировал достижение “Мастер параболы” 🙂

Теперь ты знаешь все нюансы построения графика квадратичной функции (а если посмотрел вебинары, то и всех остальных элементарных функций!).

Нравится ли тебе строить графики? Была ли эта статья полезна?

Напиши нам в комментариях внизу. Поделись этой статьей с тем, кому нужна помощь.

А если у тебя остались вопросы, задай их! И мы обязательно тебе ответим.

Источник