Что показывает множественный коэффициент корреляции

Множественный коэффициент корреляции

При наличии линейной связи между результативным и несколькими факторными признаками, а также между каждой парой факторных признаков вычисляется множественный коэффициент корреляции. Т.е. он используется для измерения тесноты связи при множественной корреляционной зависимости.

Множественный коэффициент корреляции в случае зависимости результативного признака от двух факторов вычисляется по формуле:

где – парные коэффициенты корреляции между признаками.

Условие включения факторных признаков в регрессионную модель – наличие тесной связи между результативным и факторными признаками и как можно менее существенная связь между факторными признаками.

Значимость коэффициента множественной детерминации, а соответственно и адекватность всей модели и правильность выбора формы связи можно проверить с помощью критерия Фишера:

где R 2 – коэффициент множественной детерминации (R 2 );

k – число факторных признаков, включенных в уравнение регрессии.

Связь считается существенной, если F_расч > F_табл – табличного значения F–критерия для заданного уровня значимости α и числе степеней свободы ν₁ = k, ν₂ = n – k – 1.

Известны следующие данные о выручке (у), спросе по номиналу (х1) и объем продаж (х2) корпоративных ценных бумаг. Рассчитать коэффициент множественной корреляции.

Основные характеристики корпоративных ценных бумаг

Источник

Множественная корреляция, её коэффициент. Частная корреляция

Множественная корреляция, её коэффициент

Для того чтобы можно было бы применять модель множественной линейной регрессии, прежде, при анализе множественной корреляции должны быть установлены следующие факты:

Коэффициент множественной корреляции в случае двухфакторной корреляции рассчитывается по следующей формуле:

.

Y	X 1	X 2	X 3	X 4
Y	1
X 1	-0,27	1
X 2	0,78	-0,63	1
X 3	-0,83	0,47	-0,89	1
X 4	0,65	-0,46	0,17	-0,21	1

Установить, какие переменные можно выбрать как независимые, для того, чтобы далее можно было бы строить модель множественной регрессии.

Корреляционная матрица показывает, что между переменными:

Таким образом, между заработной платой сотрудников, с одной стороны, и оценкой теста для приёма на работу и числом подчинённых, с другой стороны, существует тесная линейная связь.

Как показывает пример выше, в исследованиях поведения человека, как и во многих других направлениях, важно установить, какие факторы из многих действительно влияют на результат при учете влияния всех остальных факторов.

Частная корреляция

С помощью коэффициента частной корреляции определяется теснота связи между двумя факторами при фиксировании или исключении влияния остальных. Коэффициент частной корреляции рассчитывается по следующей формуле:

Пример 2. Собраны данные для установления зависимости цены квартиры, с одной стороны, и общей площади, площади жилой зоны и площади кухни, с другой стороны. Установить тесноту связи между ценой квартиры и её общей площади при исключении влияния площади жилой зоны и площади кухни.

Источник

Коэффициент множественной корреляции. Коэффициент множественной детерминации

Если частные коэффициенты корреляции модели множественной регрессии оказались значимыми, т. е. между результативной переменной и факторными модельными переменными действительно существует корреляционная взаимосвязь, то в этом случае построение множественного коэффициента корреляции считается целесообразным.

С помощью множественного коэффициента корреляции характеризуется совокупное влияние всех факторных переменных на результативную переменную в модели множественной регрессии.

Коэффициент множественной корреляции для линейной модели множественной регрессии с n факторными переменными рассчитывается через стандартизированные частные коэффициенты регрессии и парные коэффициенты корреляции по формуле:

где r (yx_i) – парный (не частный) коэффициент корреляции между результативной переменной у и факторной переменной x_i, i= 1,n ;

Коэффициент множественной корреляции изменяется в пределах от нуля до единицы. С его помощью нельзя охарактеризовать направление связи между результативной и факторными переменными. Чем ближе значение множественного коэффициента корреляции к единице, тем сильнее взаимосвязь между результативной и независимыми переменными, и наоборот, чем ближе значение множественного коэффициента корреляции к нулю, тем слабее взаимосвязь между результативной и независимыми переменными.

Коэффициентом множественной детерминации R 2 называется квадрат множественного коэффициента корреляции:

Коэффициент множественной детерминации характеризует, на сколько процентов построенная модель регрессии объясняет вариацию значений результативной переменной относительно своего среднего уровня, т. е. показывает долю общей дисперсии результативной переменной, объяснённой вариацией факторных переменных, включённых в модель регрессии.

Коэффициент множественной детерминации также называется количественной характеристикой объяснённой построенной моделью регрессии дисперсии результативной переменной. Чем больше значение коэффициента множественной детерминации, тем лучше построенная модель регрессии характеризует взаимосвязь между переменными.

Для коэффициента множественной детерминации всегда выполняется неравенство вида:

Следовательно, включение в линейную модель регрессии дополнительной факторной переменной xn не снижает значения коэффициента множественной детерминации.

Коэффициент множественной детерминации может быть определён не только как квадрат множественного коэффициента корреляции, но и с помощью теоремы о разложении сумм квадратов по формуле:

где ESS (Error Sum Square) – сумма квадратов остатков модели множественной регрессии с n независимыми переменными:

TSS (TotalSumSquare) – общая сумма квадратов модели множественной регрессии с n независимыми переменными:

Однако классический коэффициент множественной детерминации не всегда способен определить влияние на качество модели регрессии дополнительной факторной переменной. Поэтому наряду с обычным коэффициентом рассчитывают также и скорректированный (adjusted) коэффициент множественной детерминации, в котором учитывается количество факторных переменных, включённых в модель регрессии:

где n – количество наблюдений в выборочной совокупности;

h – число параметров, включённых в модель регрессии.

При большом объёме выборочной совокупности значения обычного и скорректированного коэффициентов множественной детерминации отличаться практически не будут.

Источник

Множественный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации

Множественный коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Квадрат множественного коэффициента корреляции R²_{y|x1x2. xm}≡R² называется множественным коэффициентом детерминации; он показывает, какая доля дисперсии результативного признака y объясняется влиянием факторных признаков x₁, x₂, …,x_m. Заметим, что формула для вычисления коэффициента детерминации через соотношение остаточной и общей дисперсии результативного признака даст тот же результат.
Множественный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации изменяются в пределах от 0 до 1. Чем ближе к 1, тем связь сильнее и, соответственно, тем точнее уравнение регрессии, построенное в дальнейшем, будет описывать зависимость y от x₁, x₂, …,x_m. Если значение множественного коэффициента корреляции невелико (меньше 0,3), это означает, что выбранный набор факторных признаков в недостаточной мере описывает вариацию результативного признака либо связь между факторными и результативной переменными является нелинейной.

Рассчитывается множественный коэффициент корреляции с помощью калькулятора. Значимость множественного коэффициента корреляции и коэффициента детерминации проверяется с помощью критерия Фишера.

Индекс множественной корреляции

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
474.61	474.3	393.93	403.87	428.61	475.37	476.57	549.98	578.39	581.06
428.16	441.04	371.08	412.53	534.51	583.03	600.25	612.33	618.54	579.44

Умножаем матрицы, (X T X)

В матрице, (X T X) число 10, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы X T и 1-го столбца матрицы X
Умножаем матрицы, (X T Y)

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
130.34	126.83	108.61	116.01	135.44	142.88	158.69	168.49	174.8	187.15
474.61	474.3	393.93	403.87	428.61	475.37	476.57	549.98	578.39	581.06
428.16	441.04	371.08	412.53	534.51	583.03	600.25	612.33	618.54	579.44

Матрица A T A.

10	1449.24	4836.69	5180.91
1449.24	216239.06	715766.61	770589.58
4836.69	715766.61	2379952.81	2548710.78
5180.91	770589.58	2548710.78	2764934.09

Полученная матрица имеет следующее соответствие:

∑n	∑y	∑x1	∑x2
∑y	∑y²	∑x1·y	∑x2·y
∑x1	∑x1·y	∑x1²	∑x1·x2
∑x2	∑x2·y	∑x2·x1	∑x2²

Найдем парные коэффициенты корреляции.
Для y и x 1
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения

Для y и x 2
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения

Для x 1 и x 2
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения

Оценка среднеквадратичного отклонения равна (Стандартная ошибка для оценки Y)

5. Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии (проверка значимости параметров множественного уравнения регрессии).
1) t-статистика

Статистическая значимость коэффициента регрессии b 0 подтверждается

Статистическая значимость коэффициента регрессии b 1 подтверждается

Fkp = 4.35
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно

Источник

МНОЖЕСТВЕННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

где — определитель алгебраич. дополнение элемента ; при этом . Если , то величина Х ₁ с вероятностью 1 равна нек-рой линейной комбинации величин т. е. совместное распределение величин сосредоточено в нек-рой гиперплоскости пространства . С другой стороны,тогда и только тогда, когда т. е. когда не коррелирована ни с одной из величин Для вычисления М. к. к. можно также использовать формулу где — дисперсия , а — дисперсия X₁ относительно регрессии.

Выборочным аналогом М. к. к. является

где и — оценки и по выборке объема п. Для проверки гипотезы об отсутствии связи используются выборочные распределения . При условии, что выборка произведена из многомерной нормальной совокупности, величина имеет бета-распределение с параметрами , если ; если , то величина при имеет в пределе нецентральное «хи-квадрат»-распределение с к-1 степенями свободы и параметром нецентральности

Лит.:[1] Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] Кендалл М., Стьюарт А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973.

Смотреть что такое «МНОЖЕСТВЕННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ» в других словарях:

КОРРЕЛЯЦИИ КОЭФФИЦИЕНТ — числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, выражающая их взаимосвязь. К. к. для случайных величин Х 1 и Х 2 с математич. ожиданиями и ненулевыми дисперсиями определяется равенством К. к. для Х 1 и Х 2 совпадает с… … Математическая энциклопедия

КОРРЕЛЯЦИЯ — зависимость между случайными величинами, не имеющая, вообще говоря, строго функционального характера. В отличие от функциональной зависимости К., как правило, рассматривается тогда, когда одна из величин зависит не только от данной другой, но и… … Математическая энциклопедия

Корреляция (в матем. статистике) — Корреляция в математической статистике, вероятностная или статистическая зависимость, не имеющая, вообще говоря, строго функционального характера. В отличие от функциональной, корреляционная зависимость возникает тогда, когда один из признаков… … Большая советская энциклопедия

Корреляция — I Корреляция (от позднелат. correlatio соотношение) термин, применяемый в различных областях науки и техники для обозначения взаимозависимости, взаимного соответствия, соотношения понятий, предприятий, предметов, функций. См. также… … Большая советская энциклопедия

Множественная регрессия с переменной-модератором (moderated multiple regression) — М. р. п. м. типичная модель многомерного анализа, предназначенная для проверки того, влияет ли на связь между двумя переменными предиктором X и зависимой переменной Y третья переменная М. Формула для уравнения простой линейной регрессии выглядит… … Психологическая энциклопедия

АНАЛИЗ РЕГРЕССИОННЫЙ КАЧЕСТ­ВЕННЫЙ — – группа методов многомерного ана­лиза данных, позволяющих оценить влияние нескольких качественных (классификационных или номинальных) независимых признаков X (предикторов) на зависимый признак Y. К таким методам относятся метод регрессионного… … Российская социологическая энциклопедия

Источник