Чему равен коэффициент приведения длины стержня

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Устойчивость сжатых стержней

Продольный изгиб

При расчетах на прочность подразумевалось, что равновесие конструкции под действием внешних сил является устойчивым. Однако выход конструкции из строя может произойти из-за того, что равновесие конструкций в силу тех или иных причин окажется неустойчивым. Во многих случаях, кроме проверки прочности, необходимо производить еще проверку устойчивости элементов конструкций.

Состояние равновесия считается устойчивым, если при любом возможном отклонении системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть её в первоначальное положение.

Рассмотрим известные виды равновесия.

2014 09 24 21 22 05 %D0%A1%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%88%D0%BE%D1%82 %D1%8D%D0%BA%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B0

Неустойчивое равновесное состояние будет в том случае, когда хотя бы при одном из возможных отклонений системы от положения равновесия возникнут силы, стремящиеся удалить её от начального положения.

Состояние равновесия будет безразличным, если при разных отклонениях системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть её в начальное положение, но хотя бы при одном из возможных отклонений система продолжает оставаться в равновесии при отсутствии сил, стремящихся вернуть её в начальное положение или удалить от этого положения.

При потере устойчивости характер работы конструкции меняется, так как этот вид деформации переходит в другой, более опасный, способный привести её к разрушению при нагрузке значительно меньшей, чем это следовало из расчета на прочность. Очень существенно, что потеря устойчивости сопровождается нарастанием больших деформаций, поэтому явление это носит характер катастрофичности.

При переходе от устойчивого равновесного состояния к неустойчивому конструкция проходит через состояние безразличного равновесия. Если находящейся в этом состоянии конструкции сообщить некоторое небольшое отклонение от начального положения, то по прекращении действия причины, вызвавшей это отклонение, конструкция в исходное положение уже не вернется, но будет способна сохранить приданное ей, благодаря отклонению, новое положение.

Состояние безразличного равновесия, представляющее как бы границу между двумя основными состояниями – устойчивым и неустойчивым, называется критическим состоянием. Нагрузка, при которой конструкция сохраняет состояние безразличного равновесия, называется критической нагрузкой.

Эксперименты показывают, что обычно достаточно немного увеличить нагрузку по сравнению с её критическим значением, чтобы конструкция из-за больших деформаций потеряла свою несущую способность, вышла из строя. В строительной технике потеря устойчивости даже одним элементом конструкции вызывает перераспределение усилий во всей конструкции и нередко влечет к аварии.

Изгиб стержня,связанный с потерей устойчивости, называется продольным изгибом.

Критическая сила. Критическое напряжение

Наименьшая величина сжимающей силы, при которой первоначальная форма равновесия стержня – прямолинейная становится неустойчивой – искривленной, называется критической.

При исследовании устойчивости форм равновесия упругих систем первые шаги были сделаны Эйлером.

В упругой стадии деформирования стержня при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности, критическая сила вычисляется по формуле Эйлера:2014 09 24 19 33 11 %D0%A1%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%88%D0%BE%D1%82 %D1%8D%D0%BA%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B0

Критическое напряжение вычисляется следующим образом

а 2014 09 24 18 38 22 %D0%A1%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%88%D0%BE%D1%82 %D1%8D%D0%BA%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B0 радиус инерции сечения.

Введем понятие предельной гибкости.

Величина λпред зависит только от вида материала: 2014 09 24 19 35 04 %D0%A1%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%88%D0%BE%D1%82 %D1%8D%D0%BA%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B0

Если у стали 3 Е=2∙10 11 Па, а σпц=200МПа, то предельная гибкость

2014 09 24 19 36 51 %D0%A1%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%88%D0%BE%D1%82 %D1%8D%D0%BA%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B0

Для дерева (сосна, ель) предельная гибкость λпред=70, для чугуна λпред=80

Таким образом, для стержней большой гибкости λ≥λпред критическая сила определяется по формуле Эйлера.

В упругопластической стадии деформирования стержня, когда значение гибкости находится в диапазоне λ0≤λ≤λпр, (стержни средней гибкости) расчет проводится по эмпирическим формулам, например, можно использовать формулу Ясинского Ф.С. Значения введенных в нее параметров определены эмпирически для каждого материала.

где a и b – постоянные, определяемые экспериментальным путем (эмпирические коэффициенты).Так, для стали3 а=310МПа, b=1,14МПа.

При значениях гибкости стержня 0≤λ≤λ0 (стержни малой гибкости) потеря устойчивости не наблюдается.

Таким образом, пределы применимости формулы Эйлераприменяется только в зоне упругих деформаций.

Условие устойчивости. Типы задач при расчете на устойчивость. Коэффициент продольного изгиба

Условием устойчивости сжатого стержня является неравенство:

2014 09 24 18 23 07 %D0%A1%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%88%D0%BE%D1%82 %D1%8D%D0%BA%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B0

Здесь допускаемое напряжение по устойчивости [σуст] — не постоянная величина, как это было в условиях прочности, а зависящая от следующих факторов:

1) от длины стержня, от размеров и даже от формы поперечных сечений,

2) от способа закрепления концов стержня,

3) от материала стержня.

Как и всякая допускаемая величина, уст] определяется отношением опасного для сжатого стержня напряжения к коэффициенту запаса. Для сжатого стержня опасным является так называемое критическое напряжение σкр, при котором стержень теряет устойчивость первоначальной формы равновесия.

Величину коэффициента запаса в задачах устойчивости принимают несколько большей, чем значение коэффициента запаса прочности, то есть если k=1÷2, то kуст=2÷5.

Допускаемое напряжение по устойчивости можно связать с допускаемым напряжением по прочности:2014 09 24 18 27 07 %D0%A1%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%88%D0%BE%D1%82 %D1%8D%D0%BA%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B0

где σт – опасное с точки зрения прочности напряжение (для пластичных материалов это предел текучести, а для хрупких – предел прочности на сжатие σвс).

Коэффициент φ Запись опубликована 24.09.2014 автором admin в рубрике Устойчивость.

Источник

Текст книги «Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов»

soprotivlenie materialov shpargalka dlya studentov 93907

Автор книги: Роман Сиренко

Жанр: Физика, Наука и Образование

Текущая страница: 8 (всего у книги 9 страниц) [доступный отрывок для чтения: 4 страниц]

75. Влияние способа закрепления концов стержня

Формула Эйлера, определяющая критическую нагрузку для сжатого стержня, выглядит следующим образом:

i 222

Это соотношение верно в том случае, если рассматриваемый стержень шарнирно закреплен с двух концов (см. Рис. 34.2). Рассмотрим другие варианты закрепления.

i 223

В общем случае формула Эйлера выглядит так:

i 224

μ – так называемый коэффициент приведения длины стержня (коэффициент Ясинского), который зависит от способов закрепления стержня. Произведение μl носит название приведенной длины стержня.

Для различных способов закрепления коэффициент приведения длины стержня имеет следующие значения:

1) стержень жестко закреплен одним концом (Рис. 34.1):

2) стержень закреплен шарнирно двумя концами (Рис. 34.2):

3) стержень жестко закреплен одним концом и шарнирно – другим (Рис. 34.3):

4) жесткая заделка (Рис. 34.4):

Значения коэффициента Ясинского получены путем решения линейного дифференциального уравнения второго порядка, которое получается из уравнения для изгибающего момента M = – Fкрv и дифференциального уравнения изогнутой балки Elv» = M.

Из формулы Эйлера в общем виде ясно, что коэффициент Ясинского обратно пропорционален критической нагрузке стержня. Из этого следует, что практически выгодно жестко закреплять стержень, что, к сожалению, не всегда возможно.

76. Пределы применимости формулы Эйлера

Напряжение, возникающее в поперечном сечении стержня, под действием критической нагрузки называется критическим напряжением и определяется формулой:

i 225

Воспользуемся формулой Эйлера для критической силы и сведем в одну две характеристики сечения Imin и А:

i 226– минимальный радиус инерции сечения.

Отношение приведенной длины к минимальному радиусу сечения называется гибкостью стержня: i 227.

Таким образом, выражение для критического напряжения выглядит следующим образом:

i 228

Вывод формулы Эйлера основан на линейном дифференциальном уравнении для изогнутой балки. Следовательно, формула Эйлера справедлива только в пределах применимости закона Гука (т. е. в случаях, когда критические напряжения, возникающие в теле при нагрузке, не превышают определенного предела пропорциональности материала). Таким образом, условие применимости формулы Эйлера выглядит следующим образом:

i 229

i 230

Минимальную гибкость стержня применимости формулы Эйлера называют предельной.

i 231

Значение предельной гибкости зависит от материала, из которого изготовлено рассматриваемое тело (стержень). Если гибкость стержня меньше допустимой предельной, то устойчивость стержня определяется формулой Ясинского:

Коэффициенты a и b зависят от материала стержня. При достижении гибкостью стержня некоторого значения λ0 критическое напряжение, определяемое формулой Ясинского, уравнивается с предельным напряжением сжатия.

Стержни с гибкостью λ λ0 называются стержнями средней гибкости и рассчитываются на устойчивость при помощи формулы Ясинского.

Стержни с гибкостью λ > λпр называются стержнями большой гибкости и рассчитываются на устойчивость формулой Эйлера.

77. Проверка сжатых стержней на устойчивость

Расчет стержня на устойчивость вне зависимости от гибкости может осуществляться при помощи следующей формулы:

Для подбора сечения формулу приводят к следующему виду:

В этой формуле σ с пр – основное допускаемое напряжение на сжатие, А – площадь поперечного сечения стержня, φ – коэффициент продольного изгиба, зависящий от материала и гибкости стержня.

Известно, что допускаемое напряжение на сжатие определяется из следующего соотношения:

i 232

где σy – предельное напряжение (считается равным пределу текучести для пластичных материалов или равным пределу прочности для хрупких материалов);

n – коэффициент запаса прочности.

Произведение φσ с пр можно рассматривать как допускаемое напряжение при расчете на устойчивость

коэффициент продольного изгиба

Этот коэффициент зависит от материала и гибкости исследуемого стержня, его значения определяются по таблицам.

78. Энергетический метод определения критических нагрузок

Рассмотрим стержень, вдоль оси которого действует сила Р (Рис. 35). Если Р EI θ’ = – φМ;

Произведение EI представляет жесткость бруса на изгиб перпендикулярно плоскости моментов М, произведение GIк – жесткость на кручение. Преобразуем эти выражения, получим:

коэффициентом k 2 обозначили выражение i 260.

Решая дифференциальное уравнение второго порядка, имеем

Функция φ при z = 0 и z = l превращается в ноль, отсюда С2 = 0, С1 sinkz = 0. Следовательно, kl = 0; π; 2π; 3π … Минимальное отличное от нуля значение представляет kl = π. Тогда

i 261

В случае балки с защемленными концами можно воспользоваться методом приведенной длины (Рис. 38),

i 262

i 263

83. Учет сил инерции

Нагрузка, постепенно возрастающая с течением времени от нуля до своего максимального значения, называется статической нагрузкой. Силами инерции такой нагрузки пренебрегают. Если нагрузка изменяется во времени достаточно быстро (т. е. время, за которое нагрузка претерпевает существенные изменения, сравнимо по порядку с периодом собственных колебаний рассматриваемой системы), то такая нагрузка называется динамической. При такой нагрузке силы инерции учитываются. Под воздействием динамической нагрузки согласно принципу Даламбера каждый элемент рассматриваемого тела можно считать находящимся в состоянии равновесия под воздействием внешних сил. При этом величина инерции, действующей на отдельный элемент тела, определяется следующим соотношением:

a – ускорение частица.

Сила инерции направлена противоположно направлению ускорения.

Массу элементарной частицы можно определить как отношение ее веса к ускорению силы тяжести:

i 264

Обозначим v – объемный вес материала, dV – объем элементарной частицы.

i 265

Применяя такие рассуждения к стержневой системе, объемные силы инерции заменяют силами инерции, распределенными по оси стержней. Объем dV представим как произведение Fdx, тогда выражение, определяющее инерцию стержневых систем, представим в виде:

i 266

где F – площадь поперечного сечения.

84. Напряжение при свободных колебаниях системы

Рассмотрим тело, например, горизонтально расположенную балку, находящуюся в состоянии статического равновесия. Если наложить на эту балку нагрузку, а затем сразу же убрать ее, то балка прогнется до какого-то своего крайнего положения, а затем под действием сил упругости примет свое противоположное крайнее положение, эти колебания будут продолжаться в течение какого-то времени. Такой вид колебательного движения при отсутствии нагрузки называют собственными колебаниями системы (или свободными колебаниями в противоположность вынужденным колебаниям, возникающим при воздействии переменных внешних сил). Частицы колеблющейся системы испытывают на себе воздействие следующих сил: собственной силы тяжести, силы упругости, действующих со стороны смежных частиц, силы инерции согласно принципу Даламбера.

Рассмотрим теперь колебания системы с одной степенью свободы, состоящей из балки и закрепленного на ней груза массой Р. Инерция тела определяется соотношением

Масса тела в этом примере означает массу груза, предполагается, что сама балка имеет нулевую массу. Ускорение представляет собой вторую производную от перемещения, в данном случае

где ∆ – прогиб под воздействием нагрузки Р, отсчитывается от положения равновесия балки. Обозначим прогиб балки от единичной силы ∆1, тогда прогиб ∆ = Рi1

Таким образом, можно записать выражение для инерции балки в следующем виде:

Ускорение и сила инерции направлены противоположно, поэтому в формуле появляется знак минус.

Приведем полученное соотношение к виду:

Мы получили дифференциальное уравнение свободных колебаний системы, общее решение его имеет вид:

и носит название уравнения свободных колебаний системы, в нем i 267, С1 и С2 – постоянные интегрирования. Это уравнение показывает, что значение перегиба ∆ периодично повторяется с течением времени. Величина w называется циклической частотой колебаний и представляет собой число колебаний, совершаемых за промежуток времени 2πt. Временной интервал, за который система совершает одно полное колебание, носит название периода свободных колебаний, его величина определяется по формуле

i 268

Значения максимальных и минимальных прогибов от положения статического равновесия определяются из уравнений

и носят название амплитуды.

Определим значение максимального полного напряжения. Оно возникает в тот момент времени, когда прогиб балки максимален, воздействие нагрузки на балку складывается из Р и Рi max. В сечении середины балки действует максимальный изгибающий момент

i 269

Исходя из этого максимальное нормальное напряжение в балке вычисляется по формуле:

i 270

здесь W – момент сопротивления поперечного сечения балки.

85. Напряжение при вынужденных колебаниях системы

Рассмотрим горизонтально закрепленную балку, на которую статически наложена нагрузка Р, находящуюся в положении статического равновесия. Если воздействовать на эту балку внешней нагрузкой по некоторому закону, то балка периодично будет перемещаться из крайнего нижнего положения в крайнее высшее, т. е. совершать колебания, которые называются вынужденными. Предположим, что балка имеет нулевой вес, и что внешняя нагрузка S приложена в том же сечении, что и нагрузка P, закон ее изменения S(t) = S cosφt, где S – максимальное значение этой силы, φ – ее частота.

Прогиб балки от положения статического равновесия под совместным воздействием статической силы Р и динамической S вычисляется по формуле:

где ∆1 – прогиб от единичной силы.

i 271

Момент инерции определяется соотношением

где m = P / g – масса груза Р, a = d 2/ dt 2 – его ускорение.

Приведем полученное выражение к виду:

i 272

где i 273частота свободных колебаний системы. Полученное соотношение носит название дифференциального уравнения вынужденных колебаний системы второго порядка. Общее его решение называется уравнением вынужденных колебаний системы и имеет вид:

Первое слагаемое определяет свободные колебания системы, второе – вынужденные.

Амплитуда вынужденных колебаний определяется максимальным значением второго слагаемого.

Полное напряжение этой системы определяется следующим образом:

где σS – напряжение от статического воздействия силы S, k = 1/(1 – φ 2 /w 2 ) – динамический коэффициент, σP – напряжение от воздействия нагрузки P.

Рассмотрим это явление на примере падения груза Р с некоторой высоты h на неподвижную систему. После удара система приходит в равновесие, напряжения и деформации в ней устанавливаются под воздействием статически приложенной силы Р (Рис. 40.2).

i 274

i 275

i 276

где Δр и ΔX – прогибы от удара в сечении воздействия силы Р и произвольном сечении x соответственно;

Δрс и Δxc – прогибы от статического воздействия силы Р в тех же сечениях;

k – так называемый динамический коэффициент, показывающий, во сколько раз прогиб при ударе превышает прогиб от статического воздействия силы.

Напряжения при динамическом воздействии силы относятся к напряжениям от статического воздействия силы так же, как и соответствующие перемещения:

i 277

Динамический коэффициент k учитывает вес и инерцию падающего тела, для его определения существует формула:

i 278

где v – скорость падающего тела в момент соприкосновения с системой.

87. Переменные напряжения. Основные определения

На практике часто встречаются случаи, когда механизмы и сооружения работают в условиях напряжений, периодически изменяющихся во времени по какому-либо закону.

– Совокупность значений напряжений в течение одного периода их изменений носит название цикла напряжений. Характеристики (параметры) цикла:

максимальным (минимальным) значением напряжения (σmax (σmin)) называется его наибольшее (наименьшее) алгебраическое значение;

средним напряжением называется половина алгебраического значения суммы макисмального и минимального напряжений:

амплитудой цикла называется половина алгебраической разности максимального и минимального значений напряжений:

– Если минимальное и максимальное значения напряжений численно равны, но противоположны по знаку, то цикл таких напряжений называется симметричным. В любом другом случае цикл называется асимметричным. Асимметричные циклы бывают знакопеременные и знакопостоянные Если минимальное или максимальное значение напряжений равно нулю, то цикл называется отнулевым или пульсирующим;

– отношений минимального напряжения к максимальному называется коэффициентом асимметрии цикла:

– иногда в расчетах используется понятие характеристики цикла:

i 279

Цикл можно полностью описать любыми двумя его параметрами, все остальные легко находятся из перечисленных формул.

Экспериментально установлено, что в случае переменных напряжений напряжения разрушения гораздо меньше, чем опасные напряжения для статических нагрузок. В любом материале существует некоторая неоднородность прочности, при воздействии статических нагрузок напряжения перераспределяются и разрушения не происходит. При воздействии динамических нагрузок в местах пониженной прочности возникают микротрещины, вокруг которых в свою очередь происходит концентрация напряжений, что приводит к увеличению трещин. Этот процесс накопления повреждений материала под периодически повторяющимся воздействием нагрузки называется усталостью материала.

Способность материала противостоять действию повторяющейся нагрузки без разрушений называется выносливостью материала. Для того чтобы определить какие-либо характеристики материала, производят так называемые испытания на выносливость, а расчет прочности конструкций при воздействии переменных напряжений – расчетом на выносливость. Пределом выносливости называется наибольшее из максимальных напряжений цикла, при котором не происходит усталостного разрушения образца после некоторого определенного (базового) количества циклов.

Данное произведение размещено по согласованию с ООО «ЛитРес» (20% исходного текста). Если размещение книги нарушает чьи-либо права, то сообщите об этом.

Источник

Комфорт
Adblock
detector